Το τετράεδρο και το τμήμα του. Κατασκευή τμημάτων ενός τετραέδρου και Πώς να κατασκευάσετε τμήματα ενός τετραέδρου

Τύπος μαθήματος:

Ένα μάθημα εκμάθησης νέου υλικού.

Τύπος μαθήματος:

Μάθημα με χρήση ΤΠΕ.

Γεωμετρία: εγχειρίδιο για τις τάξεις 10-11. / Λ.Σ. Atanasyan. – Μ.: Εκπαίδευση, 2010;

Φυλλάδιο: κάρτες με εργασίες.

Διαδραστικός πίνακας;

ΦΟΡΗΤΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗΣ;

Παρουσίαση σε PowerPoint.

Σχέδια που έγιναν στο πρόγραμμα Paint.

Μοντέλα τετραέδρου, παραλληλεπίπεδου, κυβοειδούς, κύβου.

Κατεβάστε:

Προεπισκόπηση:

Για να χρησιμοποιήσετε προεπισκοπήσεις παρουσίασης, δημιουργήστε έναν λογαριασμό Google και συνδεθείτε σε αυτόν: https://accounts.google.com

Λεζάντες διαφάνειας:

Εργασία στην τάξη. Θέμα μαθήματος: Κατασκευή τμημάτων τετραέδρου. 29.10.

A B C D TETRAHEDRON - DAVS Tetrahedron "tetra" - τέσσερα, "hedra" - πρόσωπο.

Σκοπός του μαθήματος: Στόχοι του μαθήματος: Να αναπτύξει την ικανότητα κατασκευής τμημάτων ενός τετραέδρου με ένα επίπεδο που διέρχεται από τρία δεδομένα σημεία. Εκπαιδευτικά: - Εισάγετε τον ορισμό του επιπέδου κοπής και της τομής ενός τετραέδρου από ένα επίπεδο. - να διατυπώσει έναν αλγόριθμο για την κατασκευή του σημείου τομής μιας ευθείας γραμμής και ενός επιπέδου. - να διατυπώσει έναν αλγόριθμο για την κατασκευή διατομής τετραέδρου από επίπεδο. Αναπτυξιακή: - Συνέχιση του σχηματισμού της χωρικής φαντασίας και του μαθηματικού λόγου. - ανάπτυξη αναλυτικής σκέψης κατά την ανάπτυξη αλγορίθμου για την κατασκευή του σημείου τομής μιας ευθείας και ενός επιπέδου και της τομής των πολύεδρων. Εκπαιδευτές: - αναπτύσσουν την ικανότητα να εργάζονται συνειδητά προς τον στόχο. - καλλιέργεια κουλτούρας επικοινωνίας.

Αξιώματα και θεωρήματα της στερεομετρίας. 1. Αν δύο παράλληλα επίπεδα τέμνονται από ένα τρίτο, τότε οι ευθείες τομής είναι παράλληλες. 2. Ένα επίπεδο, και μόνο ένα, διέρχεται από μια ευθεία γραμμή και ένα σημείο που δεν βρίσκεται πάνω της. 3. Αν δύο διαφορετικά επίπεδα έχουν κοινό σημείο, τότε τέμνονται κατά μήκος μιας ευθείας που διέρχεται από αυτό το σημείο. 4. Αν δύο σημεία μιας ευθείας βρίσκονται σε ένα επίπεδο, τότε όλα τα σημεία της ευθείας βρίσκονται σε αυτό το επίπεδο. 5. Ένα επίπεδο διέρχεται από δύο τεμνόμενες ευθείες, και μόνο μία. Α Β Γ Δ Ε

Εργασία: Να βρείτε το σημείο τομής της ευθείας ΑΒ με το επίπεδο Μ ΝΚ.

2. Εργασία: Κατασκευάστε ευθείες που διέρχονται από τα σημεία Μ, Ν, Κ.

Ενότητα Α Β Γ Δ Μ Ν Κ

A B C D M N K α

A B C D M N K Το ίχνος είναι η ευθεία τομής του επιπέδου τομής και του επιπέδου οποιασδήποτε όψης του πολυέδρου. MK – ίχνος αεροπλάνου MNK στο αεροπλάνο ABC MN - … NK -…

Ποια πολύγωνα μπορούν να ληφθούν σε μια ενότητα; Ένα τετράεδρο έχει 4 όψεις Οι τομές μπορεί να έχουν ως αποτέλεσμα: Τετράπλευρα Τρίγωνα

Κατασκευάστε ένα τμήμα του τετραέδρου με ένα επίπεδο που διέρχεται από τα σημεία E, F, K. E F K L A B C D M 1. Σχεδιάστε στο F . 2. Ξοδεύουμε FE. 3. Συνεχίστε με EF, συνεχίστε με AC. 5. Πραγματοποιούμε ΜΚ. 7. Πραγματοποιούμε EL EFKL – το απαιτούμενο τμήμα Κανόνας 6. MK AB=L 4. EF AC = M

Σε αυτήν την περίπτωση, είναι απαραίτητο να λάβετε υπόψη τα ακόλουθα: 1. Μπορείτε να συνδέσετε μόνο δύο σημεία που βρίσκονται στο επίπεδο μιας όψης. Για να κατασκευάσετε ένα τμήμα, πρέπει να κατασκευάσετε τα σημεία τομής του επιπέδου κοπής με τις άκρες και να τα συνδέσετε με τμήματα. 2. Εάν σημειώνεται μόνο ένα σημείο στο επίπεδο της όψης, που ανήκει στο επίπεδο τομής, τότε πρέπει να κατασκευαστεί ένα πρόσθετο σημείο. Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να βρείτε τα σημεία τομής των ήδη κατασκευασμένων γραμμών με άλλες γραμμές που βρίσκονται στις ίδιες όψεις.

Κατασκευάστε ένα τμήμα του τετραέδρου με ένα επίπεδο που διέρχεται από τα σημεία E, F, K. 1 τρόπος 2 τρόπος

Συμπέρασμα: ανεξάρτητα από τον τρόπο κατασκευής, οι τομές είναι ίδιες. Μέθοδος αριθμός 1. Μέθοδος αριθμός 2.

Ελέγξτε ότι το τμήμα έχει κατασκευαστεί σωστά. Εξηγήστε το σφάλμα.

A B C D N K M X P T Δοκιμάστε τον εαυτό σας Λύση 1. KN = α ∩ ICE X = K N ∩ BC T = MX ∩ AB P = TX ∩ AC RT = α ∩ ABC, M є RT PN = α ∩ ADS TP N K - το απαιτούμενο τμήμα

Το σημείο M είναι το εσωτερικό σημείο της όψης BC D του τετραέδρου DABC. Κατασκευάστε ένα τμήμα αυτού του τετραέδρου με ένα επίπεδο που διέρχεται από το σημείο M, παράλληλο στο επίπεδο AB D. Γ Δ Α Β Μ Κ Λ Ν

Εργασία Κατασκευάστε ένα τμήμα του τετραέδρου ABCD που διέρχεται από το σημείο R παράλληλα με την όψη BCD. 2. Κατασκευάστε ένα τμήμα του τετραέδρου ABCD που διέρχεται από το σημείο S παράλληλο προς την όψη ABC. 3. Κατασκευάστε ένα τμήμα του τετραέδρου ABCD που διέρχεται από το σημείο Τ παράλληλα με την όψη ACD. 4. Κατασκευάστε ένα τμήμα του τετραέδρου DABC με ένα επίπεδο που διέρχεται από το σημείο M, παράλληλο στην όψη BC D.

A D B C  S 2 . A D B C  R 1 . A D B C T  3 . 4.

Εργασία Μελέτη παράγραφος 14 2. Αρ. 73 (σελ. 29) 3. Δημιουργική εργασία (προαιρετικό): φτιάξτε ένα χάρτινο μοντέλο τετραέδρου.

Προεπισκόπηση:

MBOU "Γυμνάσιο Kimovskaya"

Δημοτικό διαμέρισμα Σπάσκι

Δημοκρατία του Ταταρστάν"

Θέμα μαθήματος:

«Κατασκευή τετραεδρικών τμημάτων»

Βαθμός 10

Αναπτηγμένος

Mamonova Evgenia Gennadievna,

Καθηγητής Μαθηματικών Α' κατηγορίας προσόντων

Οκτωβριος 2013

Εκπαιδευτικοί στόχοι:

• να εξασφαλίσει κατά τη διάρκεια του μαθήματος την αφομοίωση του αλγορίθμου επίλυσης προβλημάτων για την κατασκευή τμημάτων ενός τετραέδρου.
• εξασφαλίζει την αφομοίωση των εννοιών του τετραέδρου, συστηματοποιεί τη γνώση που σχετίζεται με τα αξιώματα της στερεομετρίας, τους ορισμούς, τις ιδιότητες, την έννοια της σχετικής θέσης σημείων, γραμμών και επιπέδων στο χώρο.
• να αναπτύξουν δεξιότητες απεικόνισης των εν λόγω αντικειμένων σε επίπεδο και «ανάγνωσης» των προτεινόμενων εικόνων, γραφική παιδεία.
• να σχηματίσουν την ικανότητα εφαρμογής μεθόδων σύγκρισης, γενίκευσης, συμπερασμάτων.

Αναπτυξιακά καθήκοντα:

• ανάπτυξη της ικανότητας εφαρμογής της αποκτηθείσας γνώσης της στερεομετρίας στην πράξη,
• ανάπτυξη της ικανότητας ανάλυσης και γενίκευσης της γνώσης στη διαδικασία επίλυσης προβλημάτων σχετικά με την κατασκευή τμημάτων ενός τετραέδρου.
• να μπορεί να εκτελεί διάφορους υπολογισμούς που σχετίζονται με τον προσδιορισμό του εμβαδού της διατομής.

Εκπαιδευτικά καθήκοντα:

• ενθάρρυνση της συνειδητής ανάγκης για γνώση,
• βελτίωση των εκπαιδευτικών δεξιοτήτων και ικανοτήτων,
• να καλλιεργήσει το γνωστικό ενδιαφέρον για το θέμα μέσα από την απόκτηση χωρικής φαντασίας και την ικανότητα να βλέπεις την ομορφιά του γύρω κόσμου.

Τύπος μαθήματος:

Ένα μάθημα εκμάθησης νέου υλικού.

Τύπος μαθήματος:

Μάθημα με χρήση ΤΠΕ.

ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ:

Συνομιλία;

Μετωπική έρευνα;

Ενδεικτικά και οπτικά.

Πρακτικός;

Μέθοδος σύγκρισης, γενίκευση.

Εκπαιδευτικός και μεθοδολογικός εξοπλισμός:

Γεωμετρία: εγχειρίδιο για τις τάξεις 10-11. / Λ.Σ. Atanasyan. – Μ.: Εκπαίδευση, 2010;

Φυλλάδιο: κάρτες με εργασίες.

Υλικό και τεχνικός εξοπλισμός:

Διαδραστικός πίνακας;

ΦΟΡΗΤΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗΣ;

Παρουσίαση σε PowerPoint.

Σχέδια που έγιναν στο πρόγραμμα Paint.

Μοντέλα τετραέδρου, παραλληλεπίπεδου, κυβοειδούς, κύβου.

Δομή μαθήματος:

1. Οργ. στιγμή (1 λεπτό).
2. Ενημέρωση γνώσεων που αποκτήθηκαν προηγουμένως (3 λεπτά).
3. Προετοιμασία για την αντίληψη νέου υλικού (3 λεπτά).
4. Δημιουργία προβληματικής κατάστασης (3 λεπτά).
5. Εξήγησηνέο υλικό (10 λεπτά).
6. Εμπέδωση του υλικού που μελετήθηκε (5 λεπτά).
7. Ανεξάρτητη εργασία ακολουθούμενη από δοκιμή (3 λεπτά).
8. Εργαστήριο (5 λεπτά).
9. Επίλυση του προβλήματος (8 λεπτά)
10. Αυτό είναι ενδιαφέρον (1 λεπτό).
11. Ρύθμιση εργασίας (1 λεπτό).
12. Συνοψίζοντας το μάθημα, προβληματισμός (2 λεπτά).

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων:

Σήμερα θα δούμε ξανά πώς κατασκευάστε ένα τμήμα ενός τετραέδρου με ένα επίπεδο.
Ας εξετάσουμε την απλούστερη περίπτωση (υποχρεωτικό επίπεδο), όταν 2 σημεία του επιπέδου τομής ανήκουν σε μια όψη και το τρίτο σημείο ανήκει σε άλλη όψη.

Να σας το θυμίσουμε αλγόριθμος για την κατασκευή τομώναυτού του τύπου (περίπτωση: 2 πόντοι ανήκουν στο ίδιο πρόσωπο).

1. Ψάχνουμε για ένα πρόσωπο που περιέχει 2 σημεία του επιπέδου τομής. Σχεδιάστε μια ευθεία γραμμή σε δύο σημεία που βρίσκονται στο ίδιο πρόσωπο. Βρίσκουμε τα σημεία τομής του με τις ακμές του τετραέδρου. Το τμήμα της ευθείας που καταλήγει στο πρόσωπο είναι η πλευρά του τμήματος.

2. Εάν το πολύγωνο μπορεί να κλείσει, η τομή έχει κατασκευαστεί. Εάν είναι αδύνατο να κλείσουμε, τότε βρίσκουμε το σημείο τομής της κατασκευασμένης γραμμής και το επίπεδο που περιέχει το τρίτο σημείο.

1. Βλέπουμε ότι τα σημεία E και F βρίσκονται στην ίδια όψη (BCD), σχεδιάζουμε μια ευθεία EF στο επίπεδο (BCD).
2. Ας βρούμε το σημείο τομής της ευθείας EF με την άκρη του τετραέδρου BD, αυτό είναι το σημείο H.
3. Τώρα πρέπει να βρείτε το σημείο τομής της ευθείας EF και του επιπέδου που περιέχει το τρίτο σημείο G, δηλ. αεροπλάνο (ADC).
Η ευθεία γραμμή CD βρίσκεται στα επίπεδα (ADC) και (BDC), που σημαίνει ότι τέμνει την ευθεία EF και το σημείο K είναι το σημείο τομής της ευθείας EF και του επιπέδου (ADC).
4. Στη συνέχεια, βρίσκουμε δύο ακόμη σημεία που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Αυτά είναι τα σημεία G και K, και τα δύο βρίσκονται στο επίπεδο της αριστερής πλευράς. Σχεδιάζουμε μια ευθεία GK και σημειώνουμε τα σημεία στα οποία η ευθεία αυτή τέμνει τις άκρες του τετραέδρου. Αυτά είναι τα σημεία Μ και Λ.
4. Απομένει να "κλείσετε" το τμήμα, δηλαδή να συνδέσετε τα σημεία που βρίσκονται στο ίδιο πρόσωπο. Αυτά είναι τα σημεία M και H, καθώς και L και F. Και τα δύο αυτά τμήματα είναι αόρατα, τα σχεδιάζουμε με μια διακεκομμένη γραμμή.

Η διατομή αποδείχθηκε ότι ήταν ένα τετράγωνο MHFL. Όλες οι κορυφές του βρίσκονται στις άκρες του τετραέδρου. Ας επιλέξουμε την ενότητα που προκύπτει.

Τώρα ας διατυπώσουμε "ιδιότητες" μιας σωστά κατασκευασμένης ενότητας:

1. Όλες οι κορυφές ενός πολυγώνου, που είναι μια τομή, βρίσκονται στις άκρες ενός τετραέδρου (παραλληλεπίπεδο, πολύγωνο).

2. Όλες οι πλευρές του τμήματος βρίσκονται στις όψεις του πολύεδρου.
3. Κάθε όψη ενός πολυγώνου δεν μπορεί να περιέχει περισσότερες από μία (μία ή καμία!) πλευρές της τομής

Ανάπτυξη μαθήματος

με θέμα «Κατασκευή τμημάτων τετραέδρου και παραλληλεπιπέδου» στην τάξη 10 «Α»

Σκοπός του μαθήματος:

διδάσκουν πώς να κατασκευάζουν τμήματα ενός τετραέδρου και ενός παραλληλεπίπεδου με ένα επίπεδο.

να αναπτύξουν την ικανότητα ανάλυσης, σύγκρισης, γενίκευσης και εξαγωγής συμπερασμάτων.

να αναπτύξουν τις δεξιότητες ανεξάρτητης δραστηριότητας των μαθητών και την ικανότητα να εργάζονται σε ομάδα.

Εξοπλισμός: προβολέας, διαδραστικός πίνακας, φυλλάδια.

Τύπος μαθήματος: μάθημα εκμάθησης νέου υλικού.

Μέθοδοι και τεχνικές που χρησιμοποιούνται στο μάθημα: οπτική, πρακτική, αναζήτηση προβλημάτων, ομάδα, στοιχεία ερευνητικής δραστηριότητας.

Εγώ . Οργάνωση χρόνου.

Ο δάσκαλος ανακοινώνει το θέμα και το σκοπό του μαθήματος (διαφάνεια αριθμός 1 ).

II . Ενημέρωση γνώσεων.

Δάσκαλος: Ενώ κάνατε την εργασία σας, έπρεπε να βρείτε τα σημεία συνάντησης των ευθειών γραμμών και των επιπέδων, το ίχνος ενός επιπέδου κοπής στο επίπεδο της όψης ενός πολύεδρου. Σχολιάστε τι πρέπει να γίνει για αυτό.

(Οι μαθητές σχολιάζουν την εργασία για το σπίτι (διαφάνειες Νο 2-3 ).

Δάσκαλος: Για να προχωρήσουμε στη μελέτη ενός νέου θέματος, ας αναθεωρήσουμε το θεωρητικό υλικό απαντώντας στις ερωτήσεις:

Αυτό που ονομάζεται αεροπλάνο κοπής (διαφάνεια αριθμός 4 )? (Οι μαθητές δίνουν έναν ορισμό.)

Αυτό που ονομάζεται τμήμα ενός πολυέδρου (διαφάνεια αριθμός 5 ); (Ο ορισμός έχει διατυπωθεί.)

Τι πρέπει να γίνει για να κατασκευαστεί ένα τμήμα ενός πολυεδρικού με ένα επίπεδο;

Η κατασκευή ενός τμήματος καταλήγει στην κατασκευή των γραμμών τομής του επιπέδου κοπής και των επιπέδων των όψεων του πολύεδρου.)

Είναι απαραίτητο ένα επίπεδο κοπής να τέμνει τα επίπεδα όλων των όψεων του πολυέδρου;

Δάσκαλος: Ας κάνουμε μια μικρή έρευνα και ας απαντήσουμε στην ερώτηση: «Ποιο σχήμα μπορεί να ληφθεί στο τμήμα ενός τετραέδρου ή ενός παραλληλεπιπέδου από ένα επίπεδο;»

(Οι μαθητές, δουλεύοντας σε ομάδες, αναζητούν την απάντηση στην ερώτηση που τίθεται.)

(Μετά από λίγα λεπτά διατυπώνουν τις υποθέσεις τους και ξεκινά μια επίδειξηδιαφάνειες 6 – 7 .)

Δάσκαλος: Ας επαναλάβουμε τους κανόνες που πρέπει να θυμόμαστε κατά την κατασκευή τμημάτων ενός πολυέδρου (οι μαθητές θυμούνται και διατυπώνουν τα απαραίτητα αξιώματα, θεωρήματα, ιδιότητες):

Εάν δύο σημεία ανήκουν στο επίπεδο κοπής και στο επίπεδο κάποιας όψης του πολύεδρου, τότε η ευθεία που διέρχεται από αυτά τα σημεία θα είναι το ίχνος του επιπέδου κοπής στο επίπεδο της όψης.

Εάν ένα επίπεδο κοπής είναι παράλληλο προς μια ευθεία που βρίσκεται σε ένα ορισμένο επίπεδο και τέμνει αυτό το επίπεδο, τότε η γραμμή τομής αυτών των επιπέδων είναι παράλληλη προς αυτήν την ευθεία.

Όταν δύο παράλληλα επίπεδα τέμνονται από ένα επίπεδο κοπής, λαμβάνονται παράλληλες γραμμές.

Εάν το επίπεδο κοπής είναι παράλληλο με ένα συγκεκριμένο επίπεδο, τότε αυτά τα δύο επίπεδα τέμνουν το τρίτο επίπεδο κατά μήκος ευθειών παράλληλων μεταξύ τους.

Εάν ένα επίπεδο κοπής και τα επίπεδα δύο τεμνόμενων όψεων έχουν ένα κοινό σημείο, τότε αυτό βρίσκεται σε μια γραμμή που περιέχει μια κοινή άκρη αυτών των όψεων.

Δάσκαλος: Βρείτε λάθη σε αυτά τα σχέδια, αιτιολογήστε τη δήλωσή σας (διαφάνειες 8-9 ).

Δάσκαλος: Λοιπόν, παιδιά, ετοιμάσαμε μια θεωρητική βάση για να μάθουμε πώς να κατασκευάζουμε τμήματα πολυεδρών με ένα επίπεδο, συγκεκριμένα τμήματα τετραέδρου και παραλληλεπίπεδου. Θα ολοκληρώσετε τις περισσότερες εργασίες ανεξάρτητα, δουλεύοντας σε ομάδες, έτσι ώστε ο καθένας από εσάς να έχει φύλλα εργασίας με κενά σχέδια πολύεδρων πάνω στα οποία θα δημιουργήσετε τμήματα. Εάν είναι απαραίτητο, μπορείτε να ζητήσετε συμβουλές από έναν δάσκαλο ή έναν ανώτερο στην ομάδα.

Σας παρουσιάζουμε λοιπόν στην προσοχή σαςπρώτη εργασία : ( διαφάνεια αριθμός 10 ) να κατασκευάσετε ένα τμήμα του τετραέδρου με ένα επίπεδο που διέρχεται από τα δεδομένα σημείαΜ, Ν, κ. (Η διατομή αποδεικνύεται ότι είναι τρίγωνο, ελέγξτε -διαφάνεια αριθμός 11 .)

Δάσκαλος: Ας σκεφτούμεδεύτερη εργασία : Δίνεται ένα τετράεδροDABC. Κατασκευάστε ένα τμήμα ενός τετραέδρου με ένα επίπεδοΜΝΚ, ΑνΜDC, ΝΕΝΑ Δ, κΑΒ. ( Διαφάνεια Νο. 12 )

(Λύστε το πρόβλημα με την τάξη, σχολιάζοντας την κατασκευή.)

( Εργασία Νο. 3 – ανεξάρτητη εργασία σε ομάδες (διαφάνεια Νο. 14 ). Εξέταση -διαφάνεια αριθμός 15 .)

Εργασία #4 : Κατασκευάστε ένα τμήμα ενός τετραέδρου με ένα επίπεδοΜΝΚ, ΟπουΜΚαιΝ– μέση πλευρώνΑΒΚαιπρο ΧΡΙΣΤΟΥ ( διαφάνεια αριθμός 16 ). (Ελεγξε γιαδιαφάνεια Νο. 17 .)

Δάσκαλος : Ας περάσουμε στο επόμενο μέρος του μαθήματος. Ας εξετάσουμε το πρόβλημα της κατασκευής τμημάτων ενός παραλληλεπίπεδου από ένα επίπεδο. Ανακαλύψαμε ότι όταν ένα παραλληλεπίπεδο τέμνεται από ένα επίπεδο, μπορεί να οδηγήσει σε τρίγωνο, τετράγωνο, πεντάγωνο ή εξάγωνο. Οι κανόνες για την κατασκευή τμημάτων είναι οι ίδιοι. Προτείνω να προχωρήσετε στο επόμενο πρόβλημα, το οποίο θα λύσετε μόνοι σας.

(Επιδείχθηκεδιαφάνεια αριθμός 18 )

Εργασία #5

Κατασκευάστε διατομή παραλληλεπίπεδουABCDA 1 σι 1 ντο 1 ρε 1 επίπεδοΜΝΚ, ΑνΜΑ.Α. 1 , ΝΒΒ 1 , κCC 1 . (Ελεγξε γιαδιαφάνεια αριθμός 19 ).

Εργασία αριθμός 6 : ( Αριθμός διαφάνειας 20 ) Κατασκευάστε ένα τμήμα παραλληλεπίπεδουABCDA 1 σι 1 ντο 1 ρε 1 επίπεδοPTO, Αν Π, Τ, Οανήκουν αντίστοιχα στις ακμές ΑΑ 1, BB 1, SS 1.

(Η λύση συζητείται, οι μαθητές κατασκευάζουν μια ενότητα σε μεμονωμένα φύλλα και καταγράφουν την πρόοδο της κατασκευής (διαφάνεια αριθμός 21 ).)

ΕΩΣ ∩ π.Χ. = Μ

TP ∩ AB = N

NM ∩ AD = L

NM ∩ CD = F

PL, FO

PTOFL– το απαιτούμενο τμήμα.

Εργασία Νο. 7: (διαφάνεια Νο. 22) Κατασκευάστε ένα τμήμα παραλληλεπίπεδου με ένα επίπεδοKMN, ΑνκΕΝΑ 1 ρε 1 , Ν, ΜΑΒ.

Λύση: (διαφάνεια αριθμός 23)

MN∩ AD=Q;

QK∩AA 1 =P;

ΜΕΤΑ ΜΕΣΗΜΒΡΙΑΣ;

NE II PK; KF II MN;

F.E.

MPKFENτο επιθυμητό τμήμα.

Δημιουργικές εργασίες (κάρτες σύμφωνα με τις επιλογές):

Σε μια κανονική τριγωνική πυραμίδαμικρόABC μέσω της κορυφής C καιμέσο της πλευράςμικρόΣχεδιάστε ένα τμήμα της πυραμίδας παράλληλο μεS.B.. Λαμβάνεται ένα σημείο στην ακμή ΑΒφάώστε ο Αφά: φάΒ=3:1. Μέσα από το σημείοφάΚαιμέσο της πλευράςμικρόΜια ευθεία γραμμή σχεδιάζεται από το C. Θα είναι αυτή η γραμμήπαράλληλα με το επίπεδο τομής;

ΑΒ 1 ΜΕ -τμήμα ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου ΑΒΓρεΕΝΑ 1 ΣΕ 1 ΜΕ 1 ρε 1. Μέσα από τα σημεία Ε,φά, Κ, τα οποία είναι αντίστοιχατη μέση των πλευρώνDD 1 , ΕΝΑ 1 ρε 1 , ρε 1 ντο 1 πραγματοποιήθηκε η δεύτερη ενότητα.Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΕφάΚ και ΑΒ 1 ντοπαρόμοια και εγκατάστασηποιες γωνίες αυτών των τριγώνων είναι ίσες μεταξύ τους;

Περίληψη μαθήματος: Έτσι, εξοικειωθήκαμε με τους κανόνες κατασκευής τμημάτων τετραέδρου και παραλληλεπίπεδου, εξετάσαμε τους τύπους τμημάτων και λύσαμε τα πιο απλά προβλήματα για την κατασκευή τμημάτων. Στο επόμενο μάθημα θα συνεχίσουμε να μελετάμε το θέμα και να εξετάζουμε πιο σύνθετα προβλήματα.

Τώρα ας συνοψίσουμε το μάθημα απαντώντας στις παραδοσιακές μας ερωτήσεις (διαφάνεια αριθμός 24 ):

«Μου άρεσε (δεν μου άρεσε) το μάθημα γιατί...»

«Σήμερα στην τάξη έμαθα...»

"Θέλω να..."

(Βαθμολόγηση για το μάθημα.)

Εργασία για το σπίτι: παράγραφος 14 αρ. 105, 106. (διαφάνεια αριθμός 25 )

Πρόσθετη εργασία στο Νο. 105 : Να βρείτε την αναλογία στην οποία το επίπεδοΜΝΚχωρίζει μια άκρηΑΒ, ΑνΣΟ : Η ΝΔ = 2:1, Β.Μ. = M.D.και περίοδοςκ– μέση της διάμεσηςALτρίγωνοαλφάβητο.

(Ολοκληρώστε τη δημιουργική εργασία.)

Σε αυτό το μάθημα θα δούμε το τετράεδρο και τα στοιχεία του (ακμή τετραέδρου, επιφάνεια, όψεις, κορυφές). Και θα λύσουμε αρκετά προβλήματα σχετικά με την κατασκευή τμημάτων σε ένα τετράεδρο, χρησιμοποιώντας τη γενική μέθοδο για την κατασκευή τμημάτων.

Θέμα: Παραλληλισμός ευθειών και επιπέδων

Μάθημα: Τετράεδρο. Προβλήματα κατασκευής τομών σε τετράεδρο

Πώς να φτιάξετε ένα τετράεδρο; Ας πάρουμε ένα αυθαίρετο τρίγωνο αλφάβητο. Οποιοδήποτε σημείο ρε, δεν βρίσκεται στο επίπεδο αυτού του τριγώνου. Παίρνουμε 4 τρίγωνα. Η επιφάνεια που σχηματίζεται από αυτά τα 4 τρίγωνα ονομάζεται τετράεδρο (Εικ. 1.). Τα εσωτερικά σημεία που οριοθετούνται από αυτή την επιφάνεια είναι επίσης μέρος του τετραέδρου.

Ρύζι. 1. Τετράεδρο ABCD

Στοιχεία ενός τετραέδρου
ΕΝΑ,σι, ντο, ρε - κορυφές ενός τετραέδρου.
ΑΒ, ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ., ΕΝΑ Δ, προ ΧΡΙΣΤΟΥ, BD, CD - ακμές τετραέδρου.
αλφάβητο, ABD, BDC, ADC - όψεις τετραέδρων.

Σχόλιο:μπορεί να ληφθεί επίπεδη αλφάβητοπίσω τετραεδρική βάση, και μετά το σημείο ρεείναι κορυφή ενός τετραέδρου. Κάθε άκρη του τετραέδρου είναι η τομή δύο επιπέδων. Για παράδειγμα, πλευρό ΑΒ- αυτή είναι η τομή των αεροπλάνων ΑΒρεΚαι αλφάβητο. Κάθε κορυφή ενός τετραέδρου είναι η τομή τριών επιπέδων. Κορυφή ΕΝΑβρίσκεται σε αεροπλάνα αλφάβητο, ΑΒρε, ΕΝΑρεΜΕ. Τελεία ΕΝΑείναι η τομή των τριών καθορισμένων επιπέδων. Το γεγονός αυτό γράφεται ως εξής: ΕΝΑ= αλφάβητο ∩ ΑΒρε ∩ ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝρε.

Ορισμός τετραέδρου

Ετσι, τετράεδροείναι μια επιφάνεια που σχηματίζεται από τέσσερα τρίγωνα.

Τετράεδρο άκρο- η γραμμή τομής δύο επιπέδων του τετραέδρου.

Φτιάξτε 4 ίσα τρίγωνα από 6 σπίρτα. Είναι αδύνατο να λυθεί το πρόβλημα σε ένα αεροπλάνο. Και αυτό είναι εύκολο να γίνει στο διάστημα. Ας πάρουμε ένα τετράεδρο. 6 σπίρτα είναι τα άκρα του, τέσσερις όψεις του τετραέδρου και θα είναι τέσσερα ίσα τρίγωνα. Το πρόβλημα λύθηκε.

Δίνεται ένα τετράεδρο αλφάβητορε. Τελεία Μανήκει σε μια άκρη του τετραέδρου ΑΒ, τελεία Νανήκει σε μια άκρη του τετραέδρου ΣΕρεκαι περίοδος Rανήκει στην άκρη ρεΜΕ(Εικ. 2.). Κατασκευάστε ένα τμήμα ενός τετραέδρου με ένα επίπεδο MNP.

Ρύζι. 2. Σχέδιο για το πρόβλημα 2 - Κατασκευάστε ένα τμήμα ενός τετραέδρου με ένα επίπεδο

Λύση:
Σκεφτείτε την όψη ενός τετραέδρου ρεΉλιος. Σε αυτή την άκρη του σημείου ΝΚαι Πτα πρόσωπα ανήκουν ρεΉλιος, και ως εκ τούτου το τετράεδρο. Αλλά από την προϋπόθεση του σημείου Ν, Πανήκουν στο επίπεδο κοπής. Που σημαίνει, NP- αυτή είναι η γραμμή τομής δύο επιπέδων: το επίπεδο της όψης ρεΉλιοςκαι αεροπλάνο κοπής. Ας υποθέσουμε ότι οι γραμμές NPΚαι Ήλιοςδεν είναι παράλληλες. Ξαπλώνουν στο ίδιο αεροπλάνο ρεΉλιος.Ας βρούμε το σημείο τομής των ευθειών NPΚαι Ήλιος. Ας το χαρακτηρίσουμε μι(Εικ. 3.).

Ρύζι. 3. Σχέδιο για το πρόβλημα 2. Εύρεση σημείου Ε

Τελεία μιανήκει στο επίπεδο διατομής MNP, αφού βρίσκεται στη γραμμή NP, και την ευθεία NPβρίσκεται εξ ολοκλήρου στο επίπεδο τομής MNP.

Επίσης σημείο μιβρίσκεται στο αεροπλάνο αλφάβητο, γιατί βρίσκεται σε ευθεία γραμμή Ήλιοςεκτός αεροπλάνου αλφάβητο.

Το καταλαβαίνουμε ΤΡΩΩ- γραμμή τομής επιπέδων αλφάβητοΚαι MNP,αφού σημεία μιΚαι Μβρίσκονται ταυτόχρονα σε δύο επίπεδα - αλφάβητοΚαι MNP.Ενωσε τις τελείες ΜΚαι μι, και συνεχίστε τη γραμμή ΤΡΩΩστη διασταύρωση με τη γραμμή ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ. σημείο τομής γραμμών ΤΡΩΩΚαι ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝας υποδηλώσουμε Q.

Έτσι σε αυτή την περίπτωση NPQM- επιθυμητή ενότητα.

Ρύζι. 4. Σχέδιο για το πρόβλημα 2. Λύση του προβλήματος 2

Σκεφτείτε τώρα την περίπτωση όταν NPπαράλληλο προ ΧΡΙΣΤΟΥ. Αν ευθεία NPπαράλληλη σε κάποια ευθεία, για παράδειγμα, μια ευθεία γραμμή Ήλιοςεκτός αεροπλάνου αλφάβητο, μετά ευθεία NPπαράλληλα με ολόκληρο το επίπεδο αλφάβητο.

Το επιθυμητό επίπεδο διατομής διέρχεται από την ευθεία γραμμή NP, παράλληλα με το επίπεδο αλφάβητο, και τέμνει το επίπεδο σε ευθεία γραμμή MQ. Η γραμμή τομής λοιπόν MQπαράλληλα με τη γραμμή NP. Παίρνουμε NPQM- επιθυμητή ενότητα.

Τελεία Μβρίσκεται στο πλάι ΕΝΑρεΣΕτετράεδρο αλφάβητορε. Κατασκευάστε ένα τμήμα του τετραέδρου με ένα επίπεδο που διέρχεται από το σημείο Μπαράλληλα με τη βάση αλφάβητο.

Ρύζι. 5. Σχέδιο για το πρόβλημα 3 Κατασκευάστε μια τομή ενός τετραέδρου με ένα επίπεδο

Λύση:
Αεροπλάνο κοπής φ παράλληλα με το επίπεδο αλφάβητοσύμφωνα με την κατάσταση, αυτό σημαίνει ότι αυτό το αεροπλάνο φ παράλληλες σε γραμμές ΑΒ, ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ, Ήλιος.
Στο αεροπλάνο ΑΒρεμέσα από το σημείο Μας κάνουμε ένα άμεσο PQπαράλληλο ΑΒ(Εικ. 5). Ευθεία PQβρίσκεται στο αεροπλάνο ΑΒρε. Το ίδιο και στο αεροπλάνο ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝρεμέσα από το σημείο Rας κάνουμε ένα άμεσο PRπαράλληλο ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ. Πήρα ένα σημείο R. Δύο τεμνόμενες γραμμές PQΚαι PRεπίπεδο PQRαντίστοιχα παράλληλες σε δύο τεμνόμενες ευθείες ΑΒΚαι ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝεπίπεδο αλφάβητο, που σημαίνει αεροπλάνα αλφάβητοΚαι PQRπαράλληλο. PQR- το απαιτούμενο τμήμα. Το πρόβλημα λύθηκε.

Δίνεται ένα τετράεδρο αλφάβητορε. Τελεία Μ- εσωτερικό σημείο, σημείο στην όψη του τετραέδρου ΑΒρε. Ν- εσωτερικό σημείο του τμήματος ρεΜΕ(Εικ. 6.). Κατασκευάστε το σημείο τομής μιας ευθείας Ν.Μ.και αεροπλάνα αλφάβητο.

Ρύζι. 6. Σχέδιο για το πρόβλημα 4

Λύση:
Για να το λύσουμε αυτό, θα κατασκευάσουμε ένα βοηθητικό επίπεδο ρεMN. Ας είναι ευθύ ρεΜτέμνει την ευθεία ΑΒ στο σημείο ΠΡΟΣ ΤΗΝ(Εικ. 7.). Επειτα, ΣΚρε- αυτό είναι ένα τμήμα του αεροπλάνου ρεMNκαι τετράεδρο. Στο αεροπλάνο ρεMNψέματα και ευθύς Ν.Μ., και την προκύπτουσα ευθεία γραμμή ΣΚ. Οπότε αν Ν.Μ.όχι παράλληλη ΣΚ, τότε κάποια στιγμή θα διασταυρωθούν R. Τελεία Rκαι θα υπάρχει το επιθυμητό σημείο τομής της γραμμής Ν.Μ.και αεροπλάνα αλφάβητο.

Ρύζι. 7. Σχέδιο για το πρόβλημα 4. Λύση του προβλήματος 4

Δίνεται ένα τετράεδρο αλφάβητορε. Μ- εσωτερικό σημείο του προσώπου ΑΒρε. R- εσωτερικό σημείο του προσώπου αλφάβητο. Ν- εσωτερικό σημείο της άκρης ρεΜΕ(Εικ. 8.). Κατασκευάστε ένα τμήμα ενός τετραέδρου με ένα επίπεδο που διέρχεται από τα σημεία Μ, ΝΚαι R.

Ρύζι. 8. Σχέδιο για το πρόβλημα 5 Κατασκευάστε μια τομή ενός τετραέδρου με ένα επίπεδο

Λύση:
Ας εξετάσουμε την πρώτη περίπτωση, όταν η ευθεία γραμμή MNόχι παράλληλα με το αεροπλάνο αλφάβητο. Στο προηγούμενο πρόβλημα βρήκαμε το σημείο τομής της ευθείας MNκαι αεροπλάνα αλφάβητο. Αυτό είναι το θέμα ΠΡΟΣ ΤΗΝ, λαμβάνεται χρησιμοποιώντας το βοηθητικό επίπεδο ρεMN, δηλ. κανουμε ρεΜκαι παίρνουμε ένα βαθμό φά. πραγματοποιούμε CFκαι στη διασταύρωση MNπαίρνουμε ένα βαθμό ΠΡΟΣ ΤΗΝ.

Ρύζι. 9. Σχέδιο για το πρόβλημα 5. Εύρεση σημείου Κ

Ας κάνουμε ένα άμεσο KR. Ευθεία KRβρίσκεται τόσο στο επίπεδο τομής όσο και στο επίπεδο αλφάβητο. Λήψη των πόντων Σ 1Και R 2. Συνδετικός Σ 1Και Μκαι ως συνέχεια παίρνουμε το νόημα Μ 1. Σύνδεση της κουκκίδας R 2Και Ν. Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε το επιθυμητό τμήμα Р 1 Р 2 NM 1. Το πρόβλημα στην πρώτη περίπτωση λύνεται.
Ας εξετάσουμε τη δεύτερη περίπτωση, όταν η ευθεία γραμμή MNπαράλληλα με το επίπεδο αλφάβητο. Επίπεδο MNPδιέρχεται από ευθεία γραμμή MNπαράλληλα με το επίπεδο αλφάβητοκαι τέμνει το επίπεδο αλφάβητοκατά μήκος κάποιας ευθείας γραμμής R 1 R 2, μετά ευθεία R 1 R 2παράλληλα με τη δεδομένη ευθεία MN(Εικ. 10.).

Ρύζι. 10. Σχέδιο για το πρόβλημα 5. Η απαιτούμενη ενότητα

Τώρα ας τραβήξουμε μια ευθεία γραμμή R 1 Mκαι παίρνουμε ένα βαθμό Μ 1.Р 1 Р 2 NM 1- επιθυμητή ενότητα.

Έτσι, εξετάσαμε το τετράεδρο και λύσαμε μερικά τυπικά προβλήματα τετραέδρου. Στο επόμενο μάθημα θα δούμε ένα παραλληλεπίπεδο.

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5η έκδοση, διορθώθηκε και επεκτάθηκε - Μ.: Μνημοσύνη, 2008. - 288 σελ. : Εγώ θα. Γεωμετρία. Τάξεις 10-11: εγχειρίδιο για μαθητές γενικής εκπαίδευσης (βασικό και εξειδικευμένο επίπεδο)

2. Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 σελ.: ill. Γεωμετρία. Τάξεις 10-11: Σχολικό εγχειρίδιο για ιδρύματα γενικής εκπαίδευσης

3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6η έκδοση, στερεότυπο. - M.: Bustard, 008. - 233 p. :il. Γεωμετρία. 10η τάξη: Εγχειρίδιο για ιδρύματα γενικής εκπαίδευσης με εις βάθος και εξειδικευμένη μελέτη των μαθηματικών

Πρόσθετοι πόροι ιστού

2. Πώς να κατασκευάσετε μια διατομή ενός τετραέδρου. Μαθηματικά ().

3. Φεστιβάλ παιδαγωγικών ιδεών ().

Κάντε προβλήματα στο σπίτι σχετικά με το θέμα "Tetrahedron", πώς να βρείτε την άκρη ενός τετραέδρου, τις όψεις ενός τετραέδρου, τις κορυφές και την επιφάνεια ενός τετραέδρου

1. Γεωμετρία. Βαθμοί 10-11: εγχειρίδιο για μαθητές ιδρυμάτων γενικής εκπαίδευσης (βασικό και εξειδικευμένο επίπεδο) I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5η έκδοση, διορθωμένη και επέκταση - Μ.: Μνημοσύνη, 2008. - 288 σελ.: ill. Εργασίες 18, 19, 20 σελ. 50

2. Σημείο μιμεσαία πλευρά MAτετράεδρο MAVS. Κατασκευάστε ένα τμήμα του τετραέδρου με ένα επίπεδο που διέρχεται από τα σημεία ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥΚαι μι.

3. Στο τετράεδρο MABC, το σημείο Μ ανήκει στην όψη AMV, το σημείο Ρ ανήκει στην όψη BMC, το σημείο Κ ανήκει στην ακμή AC. Κατασκευάστε ένα τμήμα του τετραέδρου με ένα επίπεδο που διέρχεται από τα σημεία Μ, Ρ, Κ.

4. Ποια σχήματα μπορούν να ληφθούν ως αποτέλεσμα της τομής ενός τετραέδρου με ένα επίπεδο;