Легкие логические задания. Математические головоломки

14.02.2019

Муха

Два поезда, находящиеся на расстоянии 200 км, движутся навстречу друг другу со скоростью 50 км/ч каждый. Муха берёт старт с одного из поездов и летит по направлению к другому со скоростью 75 км/ч. Долетев до другого поезда, муха разворачивается и летит назад к первому. Так она летает туда и обратно, пока два поезда не сталкиваются, и насекомое погибает.
Какое расстояние успела пролететь муха?
Есть два способа решить эту задачку, один – простой, другой – тяжёлый.

Тяжёлый способ решения задачи: просчитать каждый отрезок пути. Гораздо проще решить задачу, если элементарно просчитать расстояние, которое сможет пролететь муха за 2 часа (именно через два часа поезда столкнутся) с постоянной скоростью 75км/ч.
Она пролетит 150км.

Поезда

Из Бостона в Нью-Йорк выходит товарный поезд, двигаясь со скоростью 60 км/ч. Через 30 минут навстречу ему из Нью-Йорка в Бостон выходит пассажирский поезд, двигающийся со скоростью 80 км/ч.
Который из поездов будет ближе к Нью-Йорку в момент встречи? (Попросите помощи школьников - они наверняка быстрее справятся с задачкой.)

Когда поезда встретятся, они оба будут приблизительно на одном и том же расстоянии от Нью-Йорка.
Поезд, выехавший из Нью-Йорка, будет ближе к Нью-Йорку примерно на расстояние, равное длине одного поезда, потому что поезда движутся во встречном направлении. Ну это если под словом «встретятся» Вы подразумеваете именно «встретятся», а не «пересекутся в тот самый момент, когда один из поездов поравняется всеми своими вагонами с вагонами второго поезда».

Средняя скорость

Половину пути до города, находящегося на расстоянии 60 км, я проехал со средней скоростью 30 км/ч.
С какой скоростью я должен ехать остаток пути, чтобы общая средняя скорость всего путешествия была бы 60 км/ч?

Проволка над экватором

Окружность Земли равна примерно 40000 км. Если протянуть проволоку над экватором вокруг Земли так, чтобы длина проволоки была бы только на 10 метров (0,01 км) длиннее окружности земли, сможет ли пролезть под этой проволокой блоха? Мышь? Человек?

Давайте сравним первоначальный периметр с длиной проволоки. Первоначальный периметр равен 2πr (два радиуса, помноженные на число Пи), в то время как длина проволоки - 2π(новый r) (два новых радиуса, помноженные на число Пи). Разница между ними составляет примерно 1,6м.
Невысокий человек запросто пройдет под такой проволокой в полный рост, а вот людям повыше придётся согнуться гуськом.

Диофант

Мало что известно о жизни одного греческого математика из Александрии, которого называют родоначальником алгебры. Предполагается, что он жил в 3-м веке нашей эры. По рассказам, на его надгробии была высечена следующая эпитафия:
«Детство Диофанта 1/6 жизни заняло; 1/12 жизни Диофант бороду растил; ещё 1/7 жизни Диофанта прошла до того, как он женился. Через 5 лет после свадьбы у Диофанта родился сын, который прожил только половину лет, что прожил его отец. А через 4 года после смерти сына умер Диофант.»
Сколько лет прожил Диофант?

Папирус Ахмеса

В 1858 году Шотландский коллекционер Генри Райнд приобрел древнеегипетский папирус подписанный именем "Ахмес". Этот свиток папируса, шириной 33 см и длинной 5,25 метров, является копией ещё более древнего математического руководства, относящегося ко времени фараона Аменемхета III. Вот одна задача из этого древнейшего из математических сборников:
Сто мер зерна надо поделить между пятью работниками так, чтобы второй получил настолько больше, чем первый, насколько третий больше, чем второй, и на столько же, насколько четвёртый больше, чем третий, и на столько же, насколько пятый больше, чем четвёртый. Сколько мер зерна должен получить каждый, если первый и второй работники вместе получат зерна в семь раз меньше, чем остальные три работника?

Для решения задачи составим два равенства. 5w + 10d = 100; 7*(2w + d) = 3w + 9d, где w – количество зерна для первого работника, d – разница в количестве зерна между двумя (следующими по порядку) работниками. Ответ: первому работнику 10/6 мер зерна, второму работнику 65/6 мер зерна, третьему работнику 120/6 (20) мер зерна, четвертому работнику 175/6 мер зерна, пятому работнику 230/6 мер зерна.

Сколько осталось до полуночи?

Через два часа до полуночи останется в два раза меньше, чем оставалось бы через час.
Который сейчас час?

Стрелки часов

В полдень часовая, минутная и секундная стрелки часов совпадают в одной точке циферблата. Чуть больше, чем через час и пять минут, часовая и минутная стрелки совпадут снова. Найдите с точностью до миллисекунды время, когда они совпадут.
Какой угол с ними будет в это время составлять секундная стрелка?

Эту задачку можно решить несколькими способами, но мне больше всего нравится следующий, наиболее простой. Данная ситуация (когда часовая и минутная стрелки совпадают) повторяется 11 раз каждые 12 часов. Нетрудно догадаться, что отметка 1/11 окружности циферблата находится на моменте времени 1:05:27,273, то есть секундная стрелка будет стоять на отметке 27,273 сек.
Угол между часовой и секундной стрелкой в таком случае составит 131 градус.

Бассейн

К бассейну подходят четыре трубы, по которым через краны можно контролировать скорость заполнения бассейна. Открыв первый кран, можно заполнить бассейн за 2 дня, второй – за 3 дня, третий – за 4 дня и четвёртый – за 6 часов.
Сколько понадобится времени, чтобы наполнить бассейн, открыв все четыре крана одновременно?

Поскольку в сутках 24 часа, первый кран за час наполнит 1/48 бассейна, второй кран – 1/72, третий кран - 1/96, а четвертый наполнит бассейн на 1/6. Отсюда получаем: (6+4+3+48) / 288 = 61/288. Бассейн наполнится через 288/61часов, то есть через 4ч, 43мин и примерно 17сек.

Переезд через пустыню

Военный автомобиль с важным посланием должен пересечь пустыню. Однако полного бензобака хватает только на половину пути. В распоряжении военной базы имеется несколько таких автомобилей, и бензин можно перекачивать из одного бака в другой. Никакими канистрами и тросами они воспользоваться не могут.
Как доставить сообщение, не бросая ни одного автомобиля в пустыне? (Попробуйте для наглядности проиграть ситуацию с игрушечными машинками.)

Волшебный пояс

Волшебный пояс, исполняющий желания хозяина, уменьшается в два раза в длину и в 3 раза в ширину после каждого исполненного желания. После исполнения трёх желаний площадь лицевой стороны стала 4 см2.
Какова была изначальная длина ремня, если его изначальная ширина была 9 см?

Болдвил

У всех жителей города Болдвил разное количество волос на голове. Нет ни одного жителя, у которого было бы точно 518 волос на голове. Население города превышает число волос на голове любого из жителей Болдвил.
Каково максимально возможное население города Болдвил?

Неверные жёны

Антрополог, изучавший племя в отдалённом уголке джунглей Амазонки, обнаружил странный обычай. Когда муж узнавал, что его жена изменяет, он должен был публично её казнить в полночь того же дня. Про любую женщину, изменяющую мужу, всегда знали все жители племени, кроме её мужа. Но мужу никто никогда не рассказывал об изменах его жены, потому что это противоречило кодексу чести. Тот же кодекс чести не позволял жёнам известить ту жену, чей муж был ей неверен. В противном случае она в тот же вечер пристрелила бы своего мужа. В день своего отъезда антрополог созвал всех представителей племени и объявил: «Я знаю, что в этом племени есть неверные жёны.» И на девятый день все неверные мужья были казнены.
Сколько было неверных мужей?

Если принять количество неверных мужей за число «n», то количество неверных мужей, известных каждой жене неверного мужа, составляет «n-1» (потому что всем обо всём точно известно – только о верности собственного мужа приходится догадываться). Теперь построим следующую логическую цепочку.
Предположим, что количество неверных мужей равно единице. Тогда всем, кроме одной, жёнам известно, что среди жителей есть один неверный муж, в то время как жена этого неверного мужа уверена, что все мужья верны своим жёнам. Как только она услышит, что среди жителей есть как минимум один неверный муж, она тут же поймёт, что может быть только её муж, поэтому в тот же вечер она его незадумываясь застрелит.
А теперь представьте, что среди жителей есть два неверных мужа. Каждая жена таких неверных мужей уверена, что среди жителей есть только один неверный муж, поэтому ждёт, пока какая-нибудь из жён пристрелит своего мужа. Но в этот вечер никто никого не застрелил, а это может означать только одно: её СОБСТВЕННЫЙ муж ей ТОЖЕ неверен и является ВТОРЫМ неверным мужем в племени. Первая жена первого неверного мужа приходит к точно таким же выводам (она также ждала, что кто-то из жён застрелит своего мужа). Таким образом, обе оскорбленные жены в первый же вечер понимают, что их мужья им изменяют, и на следующий вечер (второго дня) пристреливают обоих мужей.
Следуя этой логике, нетрудно догадаться, что количество неверных мужей «n» будут пристрелены в «n»-нный вечер.

1 = 2

Найдите ошибку в математических выкладках:

X = 2
x(x-1) = 2(x-1)
x2 -x = 2x-2
x2 -2x = x-2
x(x-2) = x-2
x = 1

Соедините 9 точек четырьмя прямыми линиями не отрывая руки и не обводя линий.

Девиз

В юности я обнаружил, что большой палец ноги рано или поздно проделывает дырку в носке. Поэтому я перестал надевать носки.
Альберт Эйнштейн

В связи с началом учебного года мы решили проверить, насколько наши подписчики умны и изобретательны. А ты сможешь решить все, представленные нами, задачи?

«ПОСЧИТАЙ-КА»
Давай проверим, умеешь ли ты считать?

Реши без помощи калькулятора вот этот пример: К 1000 нужно прибавить 40, потом еще 1000. Затем приплюсуйте 30. Есть? Теперь снова 1000. Добавьте 20. Еще раз 1000. И напоследок 10.
Сколько получилось?
А теперь проверь все еще раз с помощью своего телефона. Совпало?

«ЧТО БОДРИТ УТРОМ?»
А теперь задачка на логику.
Женщина уронила в стакан, полный кофе, свой перстень. Как он мог остаться сухим?
Как ты думаешь, в чем тут секрет?

«СПИЧКИ ДЕТЯМ НЕ ИГРУШКА»
Сколько спичек на картинке?

«ЗЕЛЕНЫЙ ЧЕЛОВЕЧЕК»
Это та загадка, которую ты решишь с помощью детской наивностью. Мы уверены, её можно отгадать с первого раза! Ответь на вопрос: что нужно сделать, когда видишь зеленого человечка?

«КРУЖКИ»
Учитель рисует на листке бумаги несколько кружков и спрашивает одного ученика: «Сколько здесь кружков?». «Семь» - отвечает ученик. «Правильно. Так сколько здесь кружков?» - опять спрашивает учитель другого ученика. «Пять» - отвечает тот. «Правильно» - снова говорит учитель. Так сколько же кружков он нарисовал на листке?

Думаешь все так легко? А теперь попробуй решить задачи, которые считаются самыми сложными в мире!

«СУПЕР СУДОКУ»
Первое, над чем мы предлагаем тебе поломать голову – это самая сложная судоку в мире.

Судоку – это японская головоломка с числами. Принцип ее совсем не замысловат. Но ту, которую предложили тебе мы, сможет решить точно не каждый!

«БОГИ ЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ»
Есть три бога, A, B, и C, один из которых бог истины, другой бог лжи и третий бог случая, причём неясно, кто из них кто. Бог истины всегда говорит правду, бог лжи обманывает, а бог случая может сказать и то, и другое в произвольном порядке. Необходимо определить, кем является каждый из богов, задав три вопроса, на которые можно ответить «да» или «нет», при этом каждый вопрос задаётся только одному богу. Боги понимают вопросы, но отвечают на своём языке, в котором есть слова «da» и «ja», но неизвестно, какое слово обозначает «да», а какое «нет».

Эта логическая задача за авторством американского философа и логика Джорджа Булоса была впервые опубликована в итальянской газете «la Repubblica» в 1992-м году. Так же в загадке есть комментарии создателей:
– Можно задавать одному богу более чем один вопрос (поэтому другим богам может быть не задано ни одного вопроса вообще).
– Каков будет следующий вопрос и кому он будет задан, может зависеть от ответа на предыдущий вопрос.
– Бог случая отвечает случайным образом, зависящим от подбрасываний монетки, спрятанной в его голове: если выпадет аверс, то отвечает правдиво, если реверс - то врёт.
– Бог случая отвечает «da» или «ja» на любой вопрос, на который можно ответить «да» либо «нет».

Ответы на все задачи можно посмотреть по

Интеллект - самое главное из того, что отличает людей от других представителей животного мира. Человек использовал ум, чтобы достичь небывалых высот в науке и технике, но порой игры разума носили не только сугубо практический и утилитарный характер: так на свет появилось множество различных головоломок , для решения которых приходится основательно «пораскинуть мозгами». Десять из них вы найдёте в этой подборке.

1. Самая трудная в мире судоку

Одной из самых популярных в мире разновидностей кроссворда является судоку - японская головоломка с числами. Её принцип несложен, поэтому многие любители стараются создать свои варианты. В 2012-м году финский математик Арто Инкала заявил, что разработал «самую трудную в мире судоку».

Как сообщает британская газета «The Telegraph», если самые простые из распространённых вариантов судоку по шкале сложности обозначить, как «1», а наиболее сложные из популярных оценить на «5», то предложенный математиком вариант тянет на «11».

2. Самая сложная логическая головоломка

Есть три бога, A, B, и C, один из которых бог истины, другой бог лжи и третий бог случая, причём неясно, кто из них кто. Бог истины всегда говорит правду, бог лжи обманывает, а бог случая может сказать и то, и другое в произвольном порядке. Необходимо определить, кем является каждый из богов, задав три вопроса, на которые можно ответить «да» или «нет», при этом каждый вопрос задаётся только одному богу. Боги понимают вопросы, но отвечают на своём языке, в котором есть слова «da» и «ja», но неизвестно, какое слово обозначает «да», а какое «нет».

Эта логическая задача за авторством американского философа и логика Джорджа Булоса была впервые опубликована в итальянской газете «la Repubblica» в 1992-м году. В комментариях к загадке Булос делает важное замечание: каждому богу можно задать более одного вопроса, но больше трёх задавать нельзя.

3. Самая трудная в мире сум-до-ку

Одной из популярных разновидностей судоку является сум-до-ку, её ещё называют «убийца судоку». Вся разница в том, что в сум-до-ку заданы дополнительные числа - суммы значений в группах клеток, при этом числа, содержащиеся в группе, не должны повторяться. В популярном сервисе головоломок Calcudoku.org можно отследить рейтинг сложности опубликованных задач, одной из них стала сум-до-ку, которая изображена здесь.

4. Самая сложная «Проблема узнавания» Бонгарда

Этот тип головоломки изобрёл выдающийся русский кибернетик, основоположник теории распознавания образов Михаил Моисеевич Бонгард: в 1967-м году он впервые опубликовал одну из них в своей книге «Проблема узнавания». Широкую популярность «проблемы Бонгарда» обрели, когда знаменитый американский физик и информатик Дуглас Хофштадтер упомянул о них в своём труде «Гёдель, Эшер, Бах: эта бесконечная гирлянда».

Два самых сложных примера таких задач взяты с Foundalis.com , для их решения вы должны найти правило, которому соответствуют шесть изображений на левой странице, но под которое не подходят шесть картинок в правой части.

5. Наиболее трудная головоломка кальку-доку

Этот вид судоку похож на сум-до-ку, но, во-первых, для вычисления значения клеток используются любые арифметические операции, а не только сложение, во-вторых, поле может быть квадратом любого размера (количество клеток не ограничено), и в-третьих, в отличие от судоку, здесь необязательно должны присутствовать подсказки от 1-го до 9-ти в каждом квадрате 3×3. Такие задачи разработал японский учитель математики Тетсуя Миямото.

Вы можете попробовать разобраться с самой трудной кальку-доку, которая была опубликована на Calcudoku.org 2 апреля 2013-го года. Лишь 9,6% постоянных посетителей ресурса удалось её решить.

6. Самая сложная задача от «IBM»

Необходимо разработать систему хранения информации, которая кодировала бы 24 бита информации на восьми дисках по четыре бита каждый при условии, что:

Восемь 4-битных дисков объединены одной 32-битной системой, в которой любая функция от 24-х до 32-х бит может быть вычислена не более, чем пятью математическими операциями из множества {+, -, *, /, %, &, |, ~}.
После выхода из строя любых двух дисков из восьми, можно восстановить эти 24 бита информации.

На сайте компании «IBM» существует регулярная рубрика «Задумайтесь над этим!», в которой с 1998-го года публикуются любопытные логические задачи. Приведённая задача - одна из самых сложных.

7. Самая трудная головоломка какуро

Головоломки какуро сочетают в себе элементы судоку, логики, кроссвордов и основных математических операций. Цель состоит в том, чтобы заполнить клетки цифрами от одного до девяти, причём сумма цифр в каждом горизонтальном и вертикальном блоке должна сойтись с указанным числом, а цифры внутри одного блока не должны повторяться. Для горизонтальных блоков нужная сумма записывается непосредственно слева, а для вертикальных блоков - сверху.