مهام التعريف الكلاسيكي للاحتمال. أمثلة الحلول. المفهوم الأساسي لنظرية الاحتمالات

"الحادث ليس عرضي" ... يبدو أن الفيلسوف قال، ولكن في الواقع لدراسة العشوائية في العلوم العظيمة للرياضيات. في الرياضيات، تشارك فرص الحصول على نظرية الاحتمالات. سيتم تقديم صيغ وأمثلة للمهام، وكذلك التعريفات الرئيسية لهذا العلم في المقال.

ما هي نظرية احتمالية؟

نظرية الاحتمالية هي واحدة من التخصصات الرياضية التي تدرس أحداث عشوائية.

لتكون أكثر وضوحا قليلا، نعطي مثالا صغيرا: إذا قمت بإلقاء عملة معدنية، فقد تسقط "النسر" أو "واسعة". بينما العملة في الهواء، فإن كل من هذه الاحتمالات ممكنة. وهذا هو، احتمالية العواقب المحتملة يرتبط 1: 1. إذا قمت بسحب أحد سطح السفينة مع 36 بطاقة، فسيتم الإشارة إلى الاحتمال ما ى: 36. يبدو أنه لا يوجد شيء لاستكشاف والتنبؤ، خاصة بمساعدة الصيغ الرياضية. ومع ذلك، إذا كررت إجراءات معينة عدة مرات، فمن الممكن تحديد بعض الانتظام ويستند إليها للتنبؤ بنتيجة الأحداث في شروط أخرى.

إذا تعميمنا كل ما سبق، فإن نظرية الاحتمالية في فهم الكلاسيكية تستكشف إمكانية واحدة من الأحداث المحتملة في القيمة العددية.

من صفحات التاريخ

ظهرت نظرية الاحتمالية والصيغ والأمثلة من المهام الأولى مرة أخرى في العصور الوسطى المسافة، عند محاولة التنبؤ بنتيجة ألعاب البطاقات لأول مرة.

في البداية، لم يكن نظرية الاحتمالية أي شيء مشترك مع الرياضيات. إنه يبرر الحقائق التجريبية أو خصائص حدث يمكن إعادة إنتاجه في الممارسة العملية. أول عمل في هذا المجال كما هو الحال في الانضباط الرياضي ظهر في القرن السابع عشر. كانت مزرعة باسكال وبيير فرشاة من الحلل. لفترة طويلة، درسوا المقامرة ورأوا أنماطا معينة قرروا إخبارهم بالجمعية.

تم اختراع نفس التقنية من قبل Huygens للمسيحيين، على الرغم من أنه لم يكن على دراية بنتائج دراسات باسكال والمزرعة. مفهوم "نظرية الاحتمالات" والصيغ والأمثلة، التي تعتبر الأولى في تاريخ الانضباط، قدمها من قبلهم.

يعقوب برنولي، أبناء لابلااس وبيويسون أهمية مهمة. جعلوا نظرية الاحتمالية أشبه الانضباط الرياضي. تم الحصول على وجهة نظرها الحالية لنظرية الاحتمالات والصيغ والأمثلة على المهام الأساسية بفضل بديهيات Kolmogorov. نتيجة لجميع التغييرات، أصبحت نظرية الاحتمالية واحدة من الأقسام الرياضية.

المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات. الأحداث

المفهوم الرئيسي لهذا الانضباط هو الحدث. الأحداث هي ثلاثة أنواع:

• موثوق. أولئك الذين سيحدثون في أي حال (سينخفض \u200b\u200bالعملة).
• مستحيل. الأحداث التي لن تحدث مع أي نوع (ستبقى عملة معدنية معلقة في الهواء).
• عشوائي. أولئك الذين سيحدثون أو لن يحدث. قد تؤثر على عوامل مختلفة من الصعب للغاية التنبؤ بها. إذا تحدثنا عن عملة معدنية، فإن العوامل العشوائية التي قد تؤثر على النتيجة: الخصائص الفيزيائية للعملة، شكلها، والموقف الأولي، قوة الرمي، إلخ.

يتم الإشارة إلى جميع الأحداث في الأمثلة من قبل الحروف اللاتينية رأس المال، باستثناء P، والتي تم تكليف دور آخر. على سبيل المثال:

• a \u003d "جاء الطلاب إلى المحاضرة".
• ā \u003d "الطلاب لم يذهبوا إلى المحاضرة".

في المهام العملية، يتم قبول الأحداث لتسجيل الكلمات.

واحدة من أهم خصائص الأحداث هي توازنها. وهذا هو، إذا قمت بإلقاء عملة معدنية، فإن جميع الخيارات للسقوط الأولية ممكنة حتى سقطت. ولكن أيضا الأحداث ليست متساوية. يحدث هذا عندما يؤثر شخص ما بشكل خاص على النتيجة. على سبيل المثال، "المسمى" لعب الورق أو لعب العظام التي يتم فيها نقل مركز الجاذبية.

حتى الأحداث متوافقة وغير متوافقة. الأحداث المتوافقة لا تستبعد بعضها البعض. على سبيل المثال:

• A \u003d "جاء الطالب إلى المحاضرة".
• ب \u003d "جاء الطالب إلى المحاضرة".

هذه الأحداث مستقلة عن بعضها البعض، وظهور واحد منهم لا يؤثر على مظهر آخر. يتم تحديد الأحداث غير المتوافقة بحقيقة أن ظهور المرء يلغي مظهر آخر. إذا تحدثنا عن نفس العملة العملة، فإن فقدان "الطبق" يجعل من المستحيل أن تظهر "النسر" في نفس التجربة.

الإجراءات على الأحداث

يمكن ضرب الأحداث ومطوية، على التوالي، الأربطة المنطقية "و" أو "أو" في الانضباط.

يتم تحديد المبلغ من خلال حقيقة أن حدث ما، أو ب، أو اثنين يظهر في وقت واحد. في الحالة عندما تكون غير متوافقة، يكون الخيار الأخير مستحيلا أو يسقط أو أو خامسا

الضرب للأحداث هو مظهر A وفي الوقت نفسه.

الآن يمكنك تقديم بعض الأمثلة من أجل تذكر أفضل الأساسيات ونظرية الاحتمالات والصيغ. أمثلة حلول المهام التالية.

التمرين 1: تشارك الشركة في المنافسة لعقود لمدة ثلاث أنواع من العمل. الأحداث المحتملة التي قد تحدث:

• A \u003d "ستتلقى الشركة العقد الأول".
• و 1 \u003d "الشركة لن تتلقى العقد الأول".
• ب \u003d "ستتلقى الشركة العقد الثاني".
• في 1 \u003d "الشركة لن تتلقى العقد الثاني"
• ج \u003d "الشركة ستتلقى العقد الثالث."
• من 1 \u003d "لن تتلقى الشركة العقد الثالث".

باستخدام العمل على الأحداث، دعونا نحاول التعبير عن المواقف التالية:

• K \u003d "الشركة ستتلقى جميع العقود."

في الشكل الرياضي، سيكون للمعادلة النموذج التالي: K \u003d ABC.

• م \u003d "الشركة لن تتلقى عقد واحد."

م \u003d 1 في 1 ثانية 1.

أكمل المهمة: H \u003d "ستتلقى الشركة عقدا واحدا". نظرا لأنه غير معروف بالضبط ما سيحصل أي نوع من العقد على شركة (أولا، ثانيا أو ثالث)، فمن الضروري تسجيل النطاق الكامل للأحداث المحتملة:

n \u003d a 1 sun 1 υ 1 c 1 υ a 1 in 1 c.

و 1 Sun 1 هو عدد من الأحداث التي لا تتلقى فيها الشركة العقد الأول والثالث، ولكنه يتلقى الثاني. يتم تسجيل الأحداث المحتملة الأخرى بواسطة الطريقة المقابلة. يشير الرمز υ في الانضباط إلى الحزمة "أو". إذا كنا نترجم المثال المحدد على اللغة البشرية، فإن الشركة ستتلقى أو العقد الثالث، أو الثانية، أو الأولى. وبالمثل، يمكن تسجيل الشروط الأخرى في "نظرية الاحتمالات" الانضباط. سوف تساعد الصيغ والأمثلة على حل المهام المقدمة أعلاه في جعلها بنفسك.

في الواقع، احتمال

ربما، في هذا الانضباط الرياضي، احتمال حدوث حدث هو مفهوم مركزي. هناك 3 تعريفات الاحتمالية:

• الكلاسيكية
• الإحصاء؛
• هندسي.

لكل منها مكانه في دراسة الاحتمالات. تستخدم نظرية الاحتمالات والصيغ والأمثلة (الصف 9) بشكل أساسي تعريف كلاسيكي يبدو وكأنه هذا:

• إن احتمال الموقف يساوي نسبة عدد النتائج، التي تفضل ظهورها، إلى عدد النتائج المحتملة.

يبدو الصيغة مثل هذا: p (a) \u003d m / n.

A - في الواقع، الحدث. إذا ظهرت الحالة عكس ذلك، فيمكنك كتابتها كأي أو 1.

م هو عدد الحالات المواتية المحتملة.

ن - جميع الأحداث التي قد تحدث.

على سبيل المثال، A \u003d "سحب بطاقة بدلة الدودة". في سطح البطاقة القياسية 36، 9 منهم الديدان. وفقا لذلك، فإن الصيغة لحل المهمة ستكون:

P (A) \u003d 9/36 \u003d 0.25.

نتيجة لذلك، سيتم سحب احتمالية أن بطاقة بدلة الدودة من سطح السفينة، ستكون 0.25.

إلى الرياضيات العليا

أصبح الآن معروفا قليلا من نظرية الاحتمالية والصيغ والأمثلة على حل المهام التي تأتي في برنامج المدرسة. ومع ذلك، فإن نظرية الاحتمالات تجتمع في الرياضيات العليا، والتي تدرس في الجامعات. غالبا ما يتم تشغيلها من خلال التعريفات الهندسية والإحصائية من النظرية والصيغ المعقدة.

نظرية الاحتمالات مثيرة جدا جدا. الصيغ والأمثلة (الرياضيات العليا) من الأفضل أن تبدأ الدراسة من واحدة صغيرة - من تصميم احتمالية إحصائية (أو تكرار).

النهج الإحصائي لا يتعارض مع الكلاسيكية، وتوسيعها قليلا. إذا كان ذلك في الحالة الأولى، فمن الضروري تحديد الحدث على الأرجح، في هذه الطريقة، من الضروري الإشارة إلى عدد مرات حدوث ذلك. هنا يتم تقديم المفهوم الجديد ل "التردد النسبي"، والتي يمكن الإشادة بها من قبل W N (A). الصيغة لا تختلف عن الكلاسيكية:

إذا تم حساب الصيغة الكلاسيكية للتنبؤ، إذن إحصائي - وفقا لنتائج التجربة. خذ، على سبيل المثال، مهمة صغيرة.

قسم التحكم التكنولوجي يتحقق من المنتجات للجودة. من بين 100 منتج موجود 3 منخفضة الجودة. كيفية العثور على احتمال تواتر جودة المنتج؟

A \u003d "ظهور البضائع عالية الجودة".

W N (A) \u003d 97/100 \u003d 0.97

وبالتالي، فإن تردد منتج الجودة هو 0.97. من أين حصلت على 97؟ من 100 منتجات تم التحقق منها، تحولت 3 إلى أن تكون ذات جودة رديئة. من 100 بدوره 3، نحصل على 97، وهذا هو مقدار جودة المنتج.

قليلا عن compinatorics

طريقة أخرى للاحتمال تسمى COMPINTATIONS. مبدأها الرئيسي هو أنه إذا كان هناك خيار معين يمكن القيام به بواسطة م بطرق مختلفة، واختيار B هو N بطرق مختلفة، ثم يمكن إجراء الاختيار A و B من خلال مضاعفة.

على سبيل المثال، من المدينة وفي المدينة في قيادة 5 طرق. من المدينة إلى المدينة مع 4 طرق. كم عدد الطرق التي يمكن الوصول إليها من المدينة والمدينة؟

كل شيء بسيط: 5x4 \u003d 20، أي أن عشرين بطرق مختلفة يمكن الوصول إليها من النقطة أ إلى نقطة S.

مهمة تعقد. كم عدد الطرق لوضع البطاقات في سوليتير؟ في سطح السفينة 36 - هذه هي نقطة البداية. لمعرفة عدد الطرق، تحتاجها من النقطة الأولية "تأخذ بعيدا" على نفس الخريطة وضربها.

هذا هو، 36x35x34x33x32 ... x2x1 \u003d نتيجة لن تناسب شاشة الحاسبة، لذلك يمكن الإشادة ببساطة 36! لافتة "!" يشير بالقرب من الرقم إلى أن عدد الأرقام بأكمله يختلف مع بعضها البعض.

يجري المنززات هذه المفاهيم مثل التقليب والإقامة والتركيبة. كل واحد منهم لديه صيغة الخاصة به.

يسمى مجموعة مطلوبة من مجموعات مجموعات التنسيب. يمكن أن يكون التنسيب مع التكرار، أي عنصر يمكن استخدام عنصر واحد عدة مرات. وبدون تكرار، عندما لا تتكرر العناصر. N هو كل العناصر، م هي عناصر تشارك في الإقامة. ستكون الصيغة للتنسيب دون تكرار:

n m \u003d n! / (n-m)!

يطلق على المركبات من عناصر N التي تختلف إلا عن طريق ترتيب التنسيب. في الرياضيات، لديها النموذج: p n \u003d n!

يجمع بين عناصر N على م هذه المركبات مهمة من العناصر التي كانت العناصر وما مجموعها. ستنظر الصيغة في:

a n m \u003d n! / m! (n-m)!

برنولي صيغة

في نظرية الاحتمالات، وكذلك في كل انضباط، هناك أعمال رائعة في مجال الباحثين الذين أحضروا إلى مستوى جديد. إحدى هذه الأعمال هي صيغة Bernoulli، مما يجعل من الممكن تحديد احتمال حدوث حدث معين بموجب شروط مستقلة. يشير هذا إلى أن ظهور A في التجربة لا يعتمد على ظهور أو عدم ظهور نفس الحدث في الاختبارات التي تم إجراؤها مسبقا أو لاحقة.

معادلة برنولي:

p n (m) \u003d c n m × p m × q n-m.

احتمال (P) من مظهر حدث (أ) لم يتغير لكل اختبار. احتمال حدوث الحالة التي ستحدث بالضبط M مرات في كميات تجارب N سيتم حسابها من قبل الصيغة المذكورة أعلاه. وفقا لذلك، ينشأ السؤال حول كيفية معرفة الرقم Q.

إذا حدث الحدث، فإن عدد المرات، على التوالي، قد لا يأتي. الوحدة هي الرقم الذي يجب الإشادة به من خلال جميع نتائج الوضع في الانضباط. لذلك، Q هو رقم يعني إمكانية الأحداث غير المعرضة له.

الآن تعرف أن صيغة برنولي (نظرية الاحتمالات). أمثلة على حل المهام (المستوى الأول) تنظر كذلك.

المهمة 2: سيقوم زائر المتجر بشراء مع احتمال 0.2. قام 6 زائر بزيارة المتجر. ما هو احتمال قيام الزائر بإجراء عملية شراء؟

الحل: نظرا لأنه لا يعرف عدد الزوار إجراء عملية شراء أو واحد أو ستة، فمن الضروري حساب جميع الاحتمالات الممكنة باستخدام صيغة Bernoulli.

A \u003d "الزائر سيجعل عملية شراء".

في هذه الحالة: P \u003d 0.2 (كما هو موضح في المهمة). وفقا لذلك، Q \u003d 1-0.2 \u003d 0.8.

ن \u003d 6 (نظرا لأن المتجر لديه 6 زائر). سيتغير الرقم M من 0 (لا يوجد مشتر شراء) إلى 6 (سيتم شراء جميع الزوار لتخزين شيء ما). نتيجة لذلك، نحصل على حل:

P 6 (0) \u003d C 0 6 × P 0 × Q 6 \u003d Q 6 \u003d (0.8) 6 \u003d 0.2621.

أي من المشترين يقومون بشراء مع احتمال 0.2621.

كيف هو لغة برنولي (نظرية الاحتمالات)؟ أمثلة لحل المشكلات (المستوى الثاني) التالي.

بعد المثال أعلاه، تنشأ أسئلة حول مكان المشاركته و r. بالنسبة إلى P رقم إلى درجة 0 سيكون يساوي واحد. أما بالنسبة ل C، فيمكن العثور عليها في الصيغة:

c n m \u003d n! / م! (N-M)!

منذ ذلك الحين في المثال الأول \u003d 0، على التوالي، C \u003d 1، والتي من حيث المبدأ لا يؤثر على النتيجة. باستخدام صيغة جديدة، دعونا نحاول معرفة ما هو احتمال شراء البضائع من قبل زائرين.

P 6 (2) \u003d C 6 2 × p 2 × Q 4 \u003d (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0.2) 2 × ( 0.8) 4 \u003d 15 × 0.04 × 0،4096 \u003d 0.246.

ليس معقدة جدا نظرية الاحتمالية. برنولي صيغة، يتم تقديم أمثلة منها أعلاه، وهو دليل مباشر.

صيغة بويسون

يستخدم معادلة Poisson لحساب المواقف العشوائية غير المرغوبة.

الصيغة الأساسية:

p n (m) \u003d λ m / m! × ه (-λ).

في هذه الحالة، λ \u003d n x p. هذه هي صيغة Poisson البسيطة (نظرية الاحتمالات). أمثلة على حل المهام تنظر كذلك.

المهمة 3.: صنع المصنع أجزاء بمبلغ 100000 قطعة. مظهر الجزء المعيب \u003d 0.0001. ما هو احتمال أن تكون 5 أجزاء معيبة في الحفلة؟

كما ترون، فإن الزواج هو حدث غير مرجح، وفي اتصال يتم استخدام صيغة Poisson (نظرية الاحتمالات) لحساب. لا تختلف أمثلة حل مشاكل هذا النوع عن المهام الأخرى للانضباط، في الصيغة المخفضة، نتحد البيانات اللازمة:

A \u003d "عنصر محدد عشوائيا سيكون معيبا."

ص \u003d 0.0001 (وفقا لحالة المهمة).

ن \u003d 100000 (عدد الأجزاء).

م \u003d 5 (الأجزاء المعيبة). نحن استبدل البيانات في الصيغة والحصول على:

P 100000 (5) \u003d 10 5/5! X E -10 \u003d 0.0375.

بالإضافة إلى صيغة Bernoulli (نظرية الاحتمالات)، أمثلة الحلول التي تتم مكتوبها معها أعلاه، فإن معادلة Poisson لديها ه. في الواقع، يمكن العثور عليها في الصيغة:

e-De-d \u003d Lim n -\u003e ∞ (1-λ / n) n.

ومع ذلك، هناك جداول خاصة يوجد فيها جميع القيم تقريبا.

مؤخرا نظرية لابلاس

إذا كان عدد الاختبارات في برنولي في مخطط برنولي، ويحبيه حدث وفي جميع المخططات هو نفسه، فيمكن العثور على احتمال الأحداث وعدد معين من المرات في سلسلة من الاختبارات مثل صيغة لابلاس:

p n (m) \u003d 1 / √npq x (x m).

x m \u003d m-np / √npq.

لتذكر أفضل صيغة لابللا (نظرية الاحتمالات)، أمثلة على المهام للمساعدة أدناه.

نجد أولا x M، نحن استبدلون البيانات (يشاركون جميعا أعلاه) في الصيغة والحصول على 0.025. بمساعدة الجداول، نجد الرقم (0.025)، قيمةها 0.3988. الآن يمكنك استبدال جميع البيانات في الصيغة:

P 800 (267) \u003d 1 / (800 × 1/3 × 2/3) × 0.3988 \u003d 3/40 × 0.3988 \u003d 0.03.

وبالتالي، فإن احتمال أن نشرة الإعلانات تعمل بالضبط 267 مرة، هي 0.03.

صيغة بايس.

تعد صيغة Bayes (نظرية الاحتمالات)، أمثلة على حل المهام التي سيتضح أدناه، معادلة تصف احتمال حدوث حدث، بناء على الظروف التي يمكن أن تكون مرتبطة بها. الصيغة الرئيسية لها النموذج التالي:

p (a | b) \u003d p (في | a) x p (a) / p (c).

أ و ب هي أحداث معينة.

P (a | b) - الاحتمال الشرطي، أي حدث يمكن أن يحدث، شريطة أن يكون الحدث صحيحا.

ص (في | أ) - الاحتمال الشرطي للحدث الخامس.

لذلك، الجزء الأخير من الدورة الصغيرة "نظرية الاحتمالات" هي صيغة بايس، أمثلة على حلول المهام التي أدخلها أدناه.

المهمة 5.: جلب المستودع الهواتف من ثلاث شركات. في الوقت نفسه، فإن جزءا من الهواتف المصنعة في المصنع الأول هو 25٪، في الثانية - 60٪، في الثالثة - 15٪. ومن المعروف أيضا أن متوسط \u200b\u200bالنسبة المئوية للمنتجات المعيبة في المصنع الأول هو 2٪، في الثانية - 4٪، وفي الثالث - 1٪. من الضروري العثور على احتمال أن يكون الهاتف الذي تم اختياره عشوائيا معيبا.

a \u003d "تم التقاطه عشوائيا".

في الهاتف الأول الذي جعل المصنع الأول. وفقا لذلك، ستظهر التمهيدي في 2 و 3 (للمصانع الثانية والثالثة).

نتيجة لذلك، نحصل على:

ص (في 1) \u003d 25٪ / 100٪ \u003d 0.25؛ ص (في 2) \u003d 0.6؛ P (في 3) \u003d 0.15 - لذلك وجدنا احتمال كل خيار.

الآن تحتاج إلى العثور على الاحتمالية الشرطية للحدث المطلوب، أي احتمالية المنتجات المعيبة في الشركات:

P (A / IN 1) \u003d 2٪ / 100٪ \u003d 0.02؛

P (A / IN 2) \u003d 0.04؛

P (A / في 3) \u003d 0.01.

الآن سنحل محل البيانات في صيغة بايس والحصول على:

P (A) \u003d 0.25 × 0.2 + 0.6 × 0.4 + 0.15 × 0.01 \u003d 0.0305.

تقدم المقالة نظرية احتمالية وصيغ وأمثلة على حل المشكلات، ولكنها ليست سوى قمة الانضباط الواسع في Iceberg. وبعد كل شيء مكتوب، سيكون من المنطقي أن نسأل عما إذا كانت هناك حاجة نظرية الاحتمالية في الحياة. من الصعب الإجابة على شخص بسيط للإجابة عليه، فمن الأفضل أن تسأل عن ذلك، مع مساعدتها، لم يكسر مقبس العرق.

نظرية موجزة

بالنسبة للمقارنة الكمية للأحداث بدرجة إمكانية مظهرها، يتم تقديم تدبير رقمي، يسمى احتمال الحدث. احتمال حدث عشوائي يسمى الرقم الذي يعد تعبيرا عن مقياس إمكانية هدف مظهر حدث.

تتميز القيم التي تحدد كيفية حساب أسباب موضوعية كبيرة في الأحداث احتمالية الحدث. من الضروري التأكيد على أن الاحتمال هو قيمة موضوعية موجودة بشكل مستقل عن التعلم وبسبب مجموعة الظروف بأكملها التي تسهم في ظهور حدث.

التفسيرات التي أعطينا مفهوم الاحتمالية ليست تعريفا رياضيا، لأنها لا تحدد هذا المفهوم كميا. هناك العديد من التعريفات الاحتمالية لحدث عشوائي يستخدم على نطاق واسع في حل مهام محددة (الكلاسيكية والبديهية والإحصائية وغيرها).

التعريف الكلاسيكي لاحتمال الحدث يدعم هذا المفهوم إلى مفهوم أكثر الابتدائية لأحداث التوازن، والتي لم تعد محددة ويفترض أن تكون بديهية. على سبيل المثال، إذا كان العظم اللعب عبارة عن مكعب متجانس، فسيكون تداعيات أي من حواف هذا المكعب مساويا للأحداث.

دع حدث موثوق تفكك في حالات التوازن، مما يمنح كمية الحدث. أي أن الحالات التي يطلق عليها الحالات المفضية للحدث، لأن ظهور أحدهم يوفر هجوما.

سيتم الإشارة إلى احتمال الأحداث من قبل الرمز.

احتمال حدوث حدث يساوي نسبة عدد الحالات المفضية لها، من العدد الإجمالي للحصول الوحيد المساوي والتساوي والتناقض إلى العدد، أي.

هذا تعريف الكلاسيكية الاحتمالية. وبالتالي، للعثور على احتمال الحدث، من الضروري، بعد أن نظرت إلى نتائج مختلفة من الاختبار، للعثور على مجموعة من الحالات الوحيدة الممكنة والمتساوية وغير المتساوية، لحساب إجمالي عددهم N، عدد حالات M المواتية هذا الحدث، ثم احسب الحساب وفقا للصيغة المذكورة أعلاه.

يسمى احتمال حدوث حدث يساوي نسبة عدد الأحداث المواتية لتجربة الخبرة إلى إجمالي عدد نتائج التجربة احتمال كلاسيكي حدث عشوائي.

يقرر تحديد خصائص الاحتمالات التالية:

الممتلكات 1. احتمالية حدث موثوق يساوي واحدة.

الملكية 2. احتمال الحدث المستحيل هو الصفر.

الخاصية 3. احتمال الحدث العشوائي هو رقم إيجابي خلص بين الصفر والوحدة.

الخاصية 4. احتمال حدوث الأحداث التي تشكل مجموعة كاملة تساوي واحدة.

الممتلكات 5 يحدد احتمالية الحدث المعاكس بنفس طريقة احتمال حدوث الحدث A.

عدد الحالات المواتية لمظهر الحدث المعاكس. من هنا، فإن احتمال الحدث المعاكس يساوي الفرق بين الوحدة واحتمال الحدث A:

إن ميزة مهمة للتعريف الكلاسيكي لاحتمال الحدث هي أنه بمساعدتها، يمكن تحديد احتمالية حدث دون اللجوء إلى التجربة، وعلى أساس المنطق المنطقي.

عند إجراء مجمع من الظروف، سيحدث حدث موثوق به بالتأكيد، والمستحيل لن يحدث بالضرورة. من بين الأحداث التي، عند إنشاء أحكام من الشروط، قد تحدث، قد لا يحدث، عند ظهور البعض يمكن الاعتماد على قاعدة كبيرة، إلى ظهور الآخرين مع قاعدة أصغر. إذا، على سبيل المثال، في جرة الكرات البيضاء أكثر من الأسود، نأمل في ظهور وعاء أبيض عند الإزالة من الأرجح أسبابا أكبر بكثير من مظهر وعاء أسود.

مثال على حل المشكلة

مثال 1.

هناك 8 كرات بيضاء و 4 أسود و 7 كرات حمراء في المربع. مسار استرداد 3 كرات. ابحث عن احتمالات الأحداث التالية: - يتم استخراج كرة حمراء واحدة على الأقل - فهناك كرات على الأقل من لون واحد، - هناك كرة واحدة على الأقل حمراء ومرة \u200b\u200bواحدة.

حل المشكلة

ستجد إجمالي عدد نتائج الاختبار كعدد من مجموعات 19 (8 + 4 + 7) من 3:

العثور على احتمال الحدث - استخراج كرة حمراء واحدة على الأقل (1.2 أو 3 كرات حمراء)

الاحتمال المرغوب فيه:

دع الحدث - هناك 2 أوعية على الأقل من لون واحد (2 أو 3 كرات بيضاء، 2 أو 3 كرات سوداء وكرات حمراء 2 أو 3)

عدد النتائج المواتية للأحداث:

الاحتمال المرغوب فيه:

دع الحدث - هناك كرة واحدة حمراء واحدة على الأقل

(1 أحمر، أبيض، 1 أسود أو 1 أحمر، 2 أبيض أو أحمر، 1 أبيض)

عدد النتائج المواتية للأحداث:

الاحتمال المرغوب فيه:

إجابه:P (A) \u003d 0.773؛ ص (ج) \u003d 0.7688؛ ص (د) \u003d 0.6068

مثال 2.

تم إلقاء اثنين من العظام اللعب. ابحث عن احتمال أن مقدار النقاط لا يقل عن 5.

قرار

دع الحدث - مقدار النقاط على الأقل 5

نحن نستخدم تعريف الاحتمال الكلاسيكي:

إجمالي عدد نتائج الاختبار المحتملة

عدد الاختبارات المفضية للحدث الذي تهتم به

على الوجه الساقط لأول لعبة لعب، قد تظهر نقطة واحدة، ونقطتين ...، ست نقاط. وبالمثل، ستكون ست نتائج ممكنة عند إلقاء مكعب آخر. يمكن دمج كل من نتائج إلقاء النرد الأول مع كل من نتائج الثانية. وبالتالي، فإن العدد الإجمالي لنتائج الاختبار الابتدائية المحتملة يساوي عدد المواضع مع التكرار (الاختيار مع وضع عنصرين من إجمالي حجم الصوت 6):

ابحث عن احتمالية الحدث المعاكس - مقدار النقاط أقل من 5

المفضل سيكون الحدث هو المجموعات التالية من النقاط المتوهجة:

يتم تحديد التعريف الهندسي للاحتمالية وحل مهمة اجتماع معروفة على نطاق واسع.

نظرية الاحتمالية هي قسم مستقل واسع إلى حد ما من الرياضيات. في العام الدراسي، تعتبر نظرية الاحتمالية بشكل سطحي للغاية، ومع ذلك، هناك مهام لهذا الموضوع. ومع ذلك، ليس من الصعب حل مهام الدورة المدرسية (على الأقل ما هي المخاوف على الأقل العمليات الحسابية) - هنا لا تحتاج إلى النظر في المشتقات، واتخاذ التكاملات وحل التحولات المثلثية المعقدة - الشيء الرئيسي هو أن تكون قادرا على التعامل معها أرقام وبسيطة الكسور.

نظرية الاحتمالات - الشروط الأساسية

الشروط الرئيسية لنظرية الاحتمالية هي اختبار ونتائج وحدث عشوائي. يسمى الاختبار في نظرية الاحتمالية تجربة - لرمي عملة معدنية، اسحب البطاقة، ورسم السحب - كل هذه الاختبارات. نتيجة الاختبار، كما كنت تخمن بالفعل، تسمى النتيجة.

ما هو الحدث عشوائي؟ في نظرية الاحتمالات، من المفترض أن يتم إجراء الاختبار عدة مرات الكثير من النتائج. يسمى حدث عشوائي الكثير من نتائج الاختبار. على سبيل المثال، إذا قمت بإلقاء عملة معدنية، فقد تحدث حدثان عشوائيان - يسقط النسر أو الاندفاع.

لا تخلط بين النتيجة والحدث العشوائي. النتيجة هي نتيجة واحدة للاختبار واحد. حدث عشوائي هو مجموعة متنوعة من النتائج المحتملة. هناك، بالمناسبة، ومدة هذا المصطلح كحدث مستحيل. على سبيل المثال، فإن الحدث "الرقم 8" على مكعب اللعبة القياسية أمر مستحيل.

كيف تجد احتمال؟

نحن جميعا نفهم ما هو الاحتمال، وغالبا ما تستخدم هذه الكلمة في المفردات الخاصة بك. بالإضافة إلى ذلك، يمكننا حتى أن نجعل بعض الاستنتاجات بشأن احتمال حدوث حدث معين، على سبيل المثال، إذا خلف نافذة الثلج، فمن المحتمل أن نقول أن الآن ليس الصيف. ومع ذلك، كيف تعبر عن هذا الافتراض عدديا؟

من أجل تقديم الصيغة للعثور على احتمال، نقدم مفهوم آخر - نتيجة مواتية، أي النتيجة المواتية لحضور حدث معين. التعريف غامض إلى حد ما، بالطبع، حسب حالة المشكلة، من الواضح دائما أي من النتائج مواتية.

على سبيل المثال: في الفصل 25 شخصا، ثلاثة منهم كاتي. يعين المعلم واجب أوليكا، وهي تحتاج إلى شريك. ما هو احتمال أن تصبح الشريك كاتيا؟

في هذا المثال، نتيجة مواتية - شريك كاتيا. بعد قليل سوف نحل هذه المهمة. ولكن أولا نقدم بمساعدة صيغة تعريف إضافية لإيجاد احتمال.

• P \u003d A / N، حيث P هو الاحتمال، وهو رقم النتائج المواتية، N هو إجمالي عدد النتائج.

جميع التحديات المدرسية تدور حول واحدة من هذه الصيغة، والصعوبة الرئيسية عادة ما تتكون في العثور على النتائج. في بعض الأحيان فهي سهلة العثور عليها، وأحيانا - ليست كذلك.

كيفية حل المهام الاحتمالية؟

مهمة 1.

لذلك، الآن دعونا نقرر المهمة أعلاه.

يعادل عدد النتائج المواتية (المعلم تختار كاتيا) ثلاثة، لأن القط في الفصل الثالث، وتوضح النتائج - 24 (25-1، لأن أوليا مختارة بالفعل). ثم الاحتمالية متساو: p \u003d 3/2 \u003d 1/8 \u003d 0.125. وبالتالي، فإن احتمال أن تتحول كاتيا إلى 12.5٪. هل من السهل؟ دعنا نتساءل شيئا أكثر شمولا.

المهمة 2.

تم إلقاء العملة مرتين، ما هو احتمال مزيج: نسر واحد واندفاع واحد؟

لذلك، نحن نفكر في النتائج الإجمالية. كيف يمكن أن تسقط العملات المعدنية - النسر / النسر، Rushka / Rushka، Eagle / Rush، Rushka / Eagle؟ إذن، إجمالي عدد النتائج - 4. كم عدد النتائج المواتية؟ اثنين - النسر / الاندفاع والاندفاع / النسر. وبالتالي، فإن احتمال مزيج من النسر / الاندفاع يساوي:

• ص \u003d 2/4 \u003d 0.5 أو 50 في المئة.

والآن النظر في هذه المهمة. ماشا في جيب 6 عملات معدنية: اثنان - طائفة من 5 روبل وأربعة - طائفة من 10 روبل. تحولت ماشا 3 عملات معدنية إلى جيب آخر. ما هو احتمال أن تكون عملات 5-روبل في جيوب مختلفة؟

بالنسبة للبساطة، نذكر العملات المعدنية بأرقام - 1.2 قطعة نقدية من خمسة أعضاء، 3،4،5،6 - عملات معدنية عشرة أمتار. فكيف يمكن أن تكمن العملات في جيبك؟ هناك 20 مجموعات في المجموع:

• 123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256, 345, 346, 356, 456.

للوهلة الأولى، قد يبدو أن بعض المجموعات قد اختفت، على سبيل المثال، 231، في حالتنا، مجموعات 123 و 231 و 321 تعادل.

الآن نحن نفكر في مقدار النتائج المواتية لدينا. بالنسبة لهم نحن نأخذ تلك المجموعات التي يوجد فيها عدد 1، أو رقم 2: 134، 135، 136، 145، 146، 156، 234، 235، 236، 245، 246، 256. هم 12. هكذا، الاحتمال يساوي:

• ص \u003d 12/20 \u003d 0.6 أو 60٪.

المهام الناجمة عن نظرية الاحتمالية المقدمة هنا بسيطة للغاية، ولكن لا تعتقد أن نظرية الاحتمالية هي قسم بسيط من الرياضيات. إذا قررت مواصلة التعليم في الجامعة (باستثناء التخصصات الإنسانية)، فمن المؤكد أن لديك بضع الرياضيات العليا التي ستكون على دراية بشروط أكثر تعقيدا من هذه النظرية، والمهام التي ستكون هناك صعوبة بكثير وبعد

في البداية، كونه مجرد اجتماع للمعلومات والملاحظات التجريبية للعبة في العظم، أصبحت نظرية الاحتمالية علما الصلبة. أول من أعطى إطارها الرياضي كان المزرعة و pascal.

من التفكير في نظرية الاحتمالية الأبدية

تعرف شخصيتان ملتزمان من قبل العديد من الصيغ الأساسية، بليز باكال وابليز توماس، بأنه مؤمنون عميق، وكان الأخير هو الكاهن المشيخي. على ما يبدو، فإن رغبة هذين العلماء لإثبات مغالطة وجهات النظر حول بعض أنواع الحظ، مما يعطي حظا سعيدا لحيواناتهم الأليفة، وقد أعطى زخما للبحث في هذا المجال. بعد كل شيء، في الواقع، فإن أي مقامرة مع أرباحها وخسائرها هي مجرد سيمفونية للمبادئ الرياضية.

بفضل أزارت كافالر، الذي كان على قدم المساواة لاعب وشخص غير مبال للعلوم، اضطر باسكال إلى إيجاد طريقة لحساب الاحتمال. المهتمة بالبيانات المهتمة بمثل هذا السؤال: "كم مرة يجب أن ترمي عظامين في أزواج حتى تجاوز احتمال الحصول على 12 نقطة بنسبة 50٪؟" السؤال الثاني مهتم للغاية ب Cavallar: "كيفية مشاركة رهان بين المشاركين في لعبة غير مكتملة؟" بالطبع، استجاب باسكال بنجاح للأسفين، والتي أصبحت الزخم غير الطوعي لتطوير نظرية الاحتمالات. ومن المثير للاهتمام، ظل شخص الشخص معروفا في الفن، وليس في الأدب.

في السابق، لم يقدم أي عالم رياضيات بعد محاولات لحساب احتمالات الأحداث، لأنه كان يعتقد أن هذا مجرد قرار غادي. أعطى Blaise Pascal التعريف الأول لاحتمال الحدث وأظهر أن هذا هو شخصية محددة يمكن تبريرها بالوسائل الرياضية. أصبحت نظرية الاحتمالات أساس الإحصاءات وتستخدم على نطاق واسع في العلوم الحديثة.

ما هو الحوادث

إذا كنا نعتبر الاختبار الذي يمكنك تكرار العدد اللانهائي من المرات، فيمكنك تحديد حدث عشوائي. هذه هي واحدة من النتائج المحتملة للتجربة.

التجربة هي تنفيذ الإجراءات الملموسة في ظروف ثابتة.

للعمل مع نتائج الخبرة، يتم تشبه الأحداث عادة بواسطة رسائل A، B، C، D، E ...

احتمال حدث عشوائي

بحيث يمكنك أن تبدأ الجزء الرياضي من الاحتمال، تحتاج إلى تحديد جميع مكوناتها.

وضبط احتمالية حدث في الشكل العددي لقياس مظهر حدث معين (أ أو ب) نتيجة الخبرة. يشار إلى احتمال A كما p (a) أو p (b).

في نظرية الاحتمالات، تميز:

• موثوق يتم ضمان الحدث نتيجة للتجربة P (ω) \u003d 1؛
• مستحيل لا يمكن أن يحدث هذا الحدث p (Ø) \u003d 0؛
• عشوائي يكمن الحدث بين موثوق به ومستحيل، أي احتمالية مظهره ممكن، ولكن ليس مضمونا (احتمال وجود حدث عشوائي هو دائما في 0≤P (A) ≤ 1).

العلاقات بين الأحداث

النظر في كل نفس ومجموع أحداث A + B، عندما يتم حساب الحدث في تنفيذ واحد على الأقل من المكونات، A أو B، أو كليهما - A و V.

فيما يتعلق ببعضها البعض، يمكن أن تكون الأحداث:

• حالة توازن.
• متناسق.
• غير متوافق.
• عكس (الحصري المتبادل).
• متكل.

إذا كان هناك حدثان يمكن أن يحدث مع احتمال متساو، ثم حالة توازن.

إذا كان مظهر حدث ولا يقلل من احتمال ظهور حدث ب، فإنهم متناسق.

إذا لم تحدث الأحداث A و B أبدا في وقت واحد في نفس التجربة، فهي تسمى غير متوافقوبعد رمي العملات المعدنية هو مثال جيد: ظهور الاندفاع هو تلقائيا خطأ النسر.

يتكون احتمال مبلغ هذه الأحداث غير المتوافقة من احتمال كل من الأحداث:

P (A + C) \u003d p (a) + p (c)

إذا كان بداية حدث واحد يجعل من المستحيل أن يحدث آخر، فهو يسمى عكس ذلك. ثم يتم تعيين واحد منهم كأداة، والآخر - (اقرأ "ليس" أ "). ظهور حدث يعني أن ā لم يحدث. تشكل هذان الحدثان مجموعة كاملة بمجموع الاحتمالات يساوي 1.

الأحداث المعتمدة لها تأثير متبادل، مما يقلل أو زيادة احتمال بعضنا البعض.

العلاقات بين الأحداث. أمثلة

ومن الأمثلة على ذلك بكثير فهم مبادئ نظرية الأحداث وأحداث الاحتمالات.

التجربة التي سيتم إجراؤها هي سحب الكرات من المربع، ونتيجة كل تجربة هي نتيجة عنصرية.

الحدث هو أحد النتائج المحتملة للتجربة - كرة حمراء، كرة زرقاء، كرة بها رقم ستة، إلخ.

اختبار رقم 1. 6 كرات متورطة، يتم رسم ثلاثة منها في الأرقام الزرقاء، يتم تطبيق الأرقام الفردية عليها، وثلاثة آخرين حمراء مع أرقام حتى.

اختبار رقم 2. 6 كرات من اللون الأزرق مع أرقام من واحد إلى ستة تشارك.

بناء على هذا المثال، يمكنك استدعاء المجموعات:

• حدث موثوق. في №2 حدث "الحصول على كرة زرقاء" موثوقة، لأن احتمال ظهوره يساوي 1، لأن جميع الكرات الأزرق والأيس لا يمكن أن يكون. في حين أن الحدث "الحصول على كرة مع رقم 1" عشوائي.
• حدث مستحيل. في №1 بالكرات الزرقاء والأحمر الحدث "احصل على كرة أرجوانية" أمر مستحيل، لأن احتمال ظهوره هو 0.
• الأحداث المتساوية. في №1 الأحداث "الحصول على كرة مع رقم 2" و "الحصول على كرة مع توازن رقم 3"، والأحداث "الحصول على كرة مع عدد حتى" و "الحصول على كرة مع عدد 2" لديك احتمال مختلف وبعد
• أحداث متوافقة. مرتين على التوالي للحصول على ستة في عملية رمي عظم اللعب - هذه هي الأحداث المتوافقة.
• أحداث غير متوافقة. في نفس ISP. لا يمكن الجمع بين الأحداث "الحصول على كرة حمراء" و "الحصول على كرة مع عدد فردي" في نفس التجربة.
• الأحداث المعاكسة. مثال أكثر إثارة للضيق على ذلك هو إلقاء العملات المعدنية عندما يكون سحب النسر بمثابة غير أسر النهر، ومجموع احتمالاتهم هو دائما 1 (مجموعة كاملة).
• الأحداث المعالينوبعد لذلك، في ISP. №1 يمكنك ضبط الهدف لإزالة البالون الأحمر مرتين على التوالي. استخراجه أو غير معروف لأول مرة يؤثر على احتمال استخراج المرة الثانية.

يمكن ملاحظة أن الحدث الأول يؤثر بشكل كبير على احتمال الثاني (40٪ و 60٪).

صيغة احتمالية الحدث

يعزى الانتقال من تأملات الهجمات إلى البيانات الدقيقة إلى موضوع الترجمة إلى الطائرة الرياضية. وهذا هو، الأحكام حول حدث عشوائي مثل "احتمال كبير" أو "الحد الأدنى من الاحتمال" يمكن نقل البيانات العددية المحددة. هذه المواد مسموح بها تقييم ومقارنة وإدخالها في حسابات أكثر تعقيدا.

من وجهة نظر الحساب، فإن تعريف احتمال الحدث هو نسبة عدد النتائج الإيجابية الأولية إلى مبلغ جميع النتائج الممكنة لتجربة حدث معين نسبيا. يشار إليه احتمالية P (A)، حيث يعني ص كلمة "probabilite"، والتي ترجمت من الفرنسية ك "احتمال".

لذلك، حدث صيغة الاحتمالية:

حيث M هو عدد النتائج المواتية للحدث A، N - مجموع جميع النتائج الممكنة لهذه التجربة. في هذه الحالة، يكمن احتمال الأحداث دائما بين 0 و 1:

0 ≤ p (a) ≤ 1.

حساب احتمال الحدث. مثال

اتخاذ الخطاب. № 1 مع الكرات، والتي سبق وصفها: 3 كرات زرقاء مع أرقام 1/3/5 و 3 أحمر مع أرقام 2/4/6.

بناء على هذا الاختبار، يمكن عرض العديد من المهام المختلفة:

• - فقدان السلطانية الحمراء. كرات حمراء 3، والخيارات الكلية 6. هذا هو أبسط مثال على احتمال الحدث هو P (A) \u003d 3/6 \u003d 0.5.
• ب - فقدان عدد حتى. في المجموع حتى الأرقام 3 (2،4،6)، والعدد الإجمالي للمتغيرات الرقمية المحتملة 6. احتمال هذا الحدث هو P (B) \u003d 3/6 \u003d 0.5.
• ج خسارة رقم أكبر من 2. الخيارات الكلية 4 (3،4،5،6) من المبلغ الإجمالي للنتائج المحتملة 6. احتمال وجود حدث يساوي P (C) \u003d 4/6 \u003d 0.67 وبعد

كما يمكن أن ينظر إليه من الحسابات، فإن الحدث C لديه احتمال أكبر، لأن عدد النتائج الإيجابية المحتملة أعلى من في A و V.

أحداث غير صالحة

لا يمكن أن تظهر هذه الأحداث في وقت واحد في نفس التجربة. كما هو الحال في №1 من المستحيل الوصول في وقت واحد إلى الكرة الأزرق والأحمر. هذا هو، يمكنك الحصول على الكرة الزرقاء أو الحمراء. في نفس الطريق في العظم اللعب، يمكن أن يكون عدد حتى وغردو في نفس الوقت.

يعتبر احتمالية حدثين احتمالا في مجموعهم أو عملهم. يعتبر مقدار هذه الأحداث A + B مثل هذا الحدث الذي يتكون من ظهور حدث أ أو ب، وعمله AW هو مظهر كليهما. على سبيل المثال، مظهر ستة ستة على الفور على حواف مكعبين في رمي واحد.

مجموع العديد من الأحداث هو حدث ينطوي على ظهور واحد منهم على الأقل. عمل العديد من الأحداث هو المظهر المشترك لهم جميعا.

في نظرية الاحتمالية، كقاعدة عامة، فإن استخدام الاتحاد "و" يدل على المبلغ أو الاتحاد "أو" - الضرب. سوف تساعد الصيغ مع أمثلة على فهم منطق الإضافة والضرب في نظرية الاحتمالية.

احتمال الأحداث غير المكتملة

إذا تم النظر في احتمال الأحداث غير المتناسقة، فإن احتمال مقدار الأحداث يساوي إضافة احتمالهم:

P (A + C) \u003d p (a) + p (c)

على سبيل المثال: أحسب احتمال ذلك في جهاز الكمبيوتر. رقم 1 مع كرات زرقاء وحمراء، وعدد 1 و 4. حساب ليس في إجراء واحد، ولكن مجموع احتمالات المكونات الأولية. لذلك، في هذه التجربة فقط 6 كرات أو 6 من جميع النتائج الممكنة. الأرقام التي تلبي الحالة - 2 و 3. احتمال الشكل 2 هي 1/6، احتمال الرقم 3 هو أيضا 1/6. الاحتمال الذي سيتخرج الرقم بين 1 و 4:

احتمال أحداث غير متوافقة للمجموعة الكاملة يساوي 1.

لذلك، إذا كانت في تجربة مكعب، فإن احتمالات تداعيات جميع الأرقام، ثم نتيجة نحصل على وحدة.

صحيح أيضا بالنسبة للأحداث المعاكسة، على سبيل المثال، تجربة عملة معدنية، حيث يوجد جانب واحد هو حدث أ، والآخر هو الحدث المعاكس، كما هو معروف،

P (A) + P () \u003d 1

احتمال عمل الأحداث غير البارزة

تطبق الضرب من الاحتمالات عندما يفكرون في ظهور أحداثين أو أكثر غير مكتملة في ملاحظة واحدة. الاحتمال الذي سيظهر الأحداث A و B في وقت واحد، يساوي نتاج احتمالاتهم، أو:

P (A * B) \u003d p (a) * p (b)

على سبيل المثال، احتمال أن يكون ذلك في مزود خدمة الإنترنت. №1 نتيجة لمحاولتين، ستظهر الكرة الزرقاء مرتين، تساوي

وهذا هو، احتمال حدوث حدث، عندما، نتيجة لمحاولتين مع إزالة الكرات، سيتم استخراج فقط الكرات الزرقاء، تساوي 25٪. من السهل جدا القيام بتجارب عملية من هذه المهمة ومعرفة ما إذا كان ذلك حقا.

الأحداث المشتركة

تعتبر الأحداث بشكل مشترك عندما يتزامن ظهور أحدهم مع ظهور آخر. على الرغم من حقيقة أنهم مفصلون، يتم النظر في احتمالية الأحداث المستقلة. على سبيل المثال، يمكن إلقاء برمي عظام اللعب نتيجة عندما يسقط الرقم 6 على كلاهما. على الرغم من أن الأحداث تزامنت وظهرت في وقت واحد، فهي مستقلة عن بعضها البعض - فقط ستة، العظم الثاني ليس له تأثير على ذلك وبعد

يعتبر احتمال الأحداث المشتركة هو احتمال مبلغها.

احتمال مجموع الأحداث المشتركة. مثال

إن احتمال كمية الأحداث A و B، التي تتعايش مع بعضها البعض، تساوي مجموع احتمالية الحدث بخصم احتمالية عملها (أي تنفيذها المشترك):

ص مفصل. (A + C) \u003d p (a) + p (b) - p (av)

لنفترض أن احتمال الدخول في الهدف مع طلقة واحدة هو 0.4. ثم الحدث أ - ضرب الهدف في المحاولة الأولى، في - في الثانية. هذه الأحداث مفصل، لأنه من الممكن أن يكون الهدف يمكن ضربه ومن الطلقة الثانية الأولى. لكن الأحداث لا تعتمد. ما هو احتمال حدوث هزيمة مستهدفة من طلقتين (واحد على الأقل)؟ وفقا للصيغة:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

الإجابة على السؤال هي كما يلي: "احتمال الدخول إلى هدف من طلقتين هو 64٪."

يمكن أن تكون صيغة احتمالية الحدث هذه قابلة للتطبيق أيضا على الأحداث غير المكتملة، حيث احتمال ظهور الحدث P (AV) \u003d 0. هذا يعني أن احتمالية الأحداث غير المكتملة يمكن اعتبارها حالة خاصة من الصيغة المقترحة.

هندسة الاحتمالات للوضوح

ومن المثير للاهتمام، يمكن تمثيل احتمال مقدار الأحداث المشتركة كمنطقين A و B، الذي يتقاطع معا. كما يمكن أن ينظر إليها من الصورة، فإن مساحة جمعيتها تساوي المساحة الإجمالية في الدقيقة في مناطق تقاطعها. هذا التفسير هندسي يجعل أكثر مفهومة غير منطقية في صيغة النظرة الأولى. لاحظ أن الحلول الهندسية ليست غير شائعة في نظرية الاحتمالية.

تحديد احتمالية مجموع الأحداث المشتركة (أكثر من اثنين) مرهقة للغاية. لحسابها، تحتاج إلى استخدام الصيغ التي يتم توفيرها لهذه الحالات.

الأحداث المعالين

وتسمى الأحداث التابعة إذا كان الهجوم من واحد منهم يؤثر على احتمال وجود آخر (ب). علاوة على ذلك، يؤخذ تأثير كل من الأحداث A وأخطيتها في الاعتبار. على الرغم من أن الأحداث تسمى المعالين على التعريف، إلا أن واحد منهم فقط (ب) يعتمد. تم تعيين الاحتمالية المعتادة باسم P (B) أو احتمال الأحداث المستقلة. في حالة الاعتماد، يتم تقديم مفهوم جديد - الاحتمال الشرطي P A (B)، وهو احتمالية الحدث التابع في شريطة توفير الحدث A (فرضية) الذي يعتمد منه.

ولكن بعد كل شيء، فإن الحدث هو أيضا من خلال الصدفة، لذلك لديه أيضا فرصة تحتاجها ويمكن أن تؤخذ في الاعتبار في الحسابات المحسوبة. بعد ذلك، سيتم إظهار المثال كيفية العمل مع الأحداث والفرضية التابعة.

مثال على حساب احتمالية الأحداث المعالين

مثال جيد لحساب الأحداث التابعة يمكن أن يكون سطح بطاقات قياسي.

على مثال سطح السفينة في 36 بطاقة، فكر في الأحداث المعالين. من الضروري تحديد احتمال أن تكون البطاقة الثانية المستخرجة من سطح السفينة ستكون الدف، إذا استخرجت الأولى:

1. bubnovy.
2. بدلة أخرى.

من الواضح أن احتمال الحدث الثاني يعتمد على الأول أ. لذلك، إذا كان الخيار الأول صحيحا أن سطح السفينة أصبح بطاقة واحدة (35) و 1 من الدف (8) أقل، احتمال حدوث حدث في:

ص (ب) \u003d 8/35 \u003d 0.23

إذا كان الخيار الثاني عادل، فقد أصبح سطح السفينة 35 بطاقة، وعدد إجمالي عدد الدف (9) محفوظا، ثم احتمال حدوث الحدث التالي في:

ص (ب) \u003d 9/35 \u003d 0.26.

يمكن ملاحظة أنه إذا تم الاتفاق على الحدث في حقيقة أن البطاقة الأولى هي الدف، فإن احتمال حدوث حدث في النقصان، والعكس صحيح.

ضرب الأحداث التابعة

يسترشد بالفصل السابق، نحن نقبل الحدث الأول (أ) كحقيقة، ولكن إذا قلنا في جوهرها، فهذا لديه شخصية عشوائية. احتمال حدوث هذا الحدث، أي استخراج الدف من سطح السفينة من سطح البطاقات، يساوي:

P (A) \u003d 9/36 \u003d 1/4

نظرا لأن النظرية غير موجودة في حد ذاتها، ولكنها مصممة للعمل لأغراض عملية، فمن الصحيح أن نلاحظ أن احتمال حاجة إلى احتمال نتاج الأحداث التابعة في الغالب.

وفقا لنظره على نتاج احتمالات الأحداث المعالين، فإن احتمال ظهور الأحداث المعتمدة بشكل مشترك A و B يساوي احتمال حدوث حدث واحد، مضروبة في الاحتمال الشرطي للحدث في (المعال أ):

P (AB) \u003d p (a) * p a (b)

ثم في المثال مع سطح السفينة، احتمال استخراج بطاقتين مع Mahi من الدف هو:

9/36 * 8/35 \u003d 0.0571، أو 5.7٪

واحتمال الاستخراج ليس من الدف الأول، ثم المستنقعة مساوية ل:

27/36 * 9/35 \u003d 0.19، أو 19٪

يمكن ملاحظة أن احتمال ظهور حدث في أكثر من ذلك، شريطة استخراج بطاقة الاستخراج الأولى من الدف. هذه النتيجة هي منطقية ومفهومة للغاية.

احتمال كامل للحدث

عندما تصبح مشكلة الاحتمالات الشرطية متعددة الأوجه، من المستحيل حساب الأساليب المعتادة. عندما تكون الفرضيات أكثر من اثنين، وهي A1، A2، ...، N، N، .. تبريد مجموعة كاملة من الأحداث المقدمة:

• P (A I)\u003e 0، i \u003d 1،2، ...
• أنا ∩ ∩ \u003d Ø، أنا ≠ J.
• σ k a k \u003d.

لذلك، فإن الصيغة للحصول على الاحتمال الكامل للحدث في المجموعة الكاملة من الأحداث العشوائية A1، A2، ...، ون:

نظرة في المستقبل

احتمال حدوث حدث عشوائي ضروري للغاية في العديد من مجالات العلوم: الاقتصاد الإحصائي والإحصائيات والفيزياء، وما إلى ذلك لأن بعض العمليات لا يمكن تحديدها، لأنها نفسها لها طبيعة احتمالية، هناك حاجة إلى طرق خاصة للعمل. يمكن استخدام نظرية احتمالية الحدث في أي مكان تكنولوجي كوسيلة لتحديد احتمال وجود خطأ أو عطل.

يمكن القول أنه، تعلم احتمال، نحن نقوم بالخطوة النظرية في المستقبل بطريقة ما، ونظر إليها من خلال مواقع الصيغة.

كل شيء في العالم مصمم أو عن طريق الصدفة ...
أرسطو

الاحتمال: القواعد الأساسية

نظرية الاحتمالات تحسب احتمال أحداث مختلفة. الرئيسية في نظرية الاحتمالية هو مفهوم حدث عشوائي.

على سبيل المثال، يمكنك رمي عملة معدنية، فهي تقع عشوائيا على معطف الأسلحة أو واسعة. أنت لا تعرف مقدما ما نوع العملات التي ستسقط. أنت تدخل في عقد تأمين، أنت لا تعرف مقدما ما إذا كانت هناك مدفوعات.

في الحسابات الاكتوارية، يجب أن تكون قادرا على تقييم احتمال أحكام الأحداث المختلفة، وبالتالي فإن نظرية الاحتمالات تلعب دورا رئيسيا. لا يوجد مجال آخر من الرياضيات يمكن أن تعمل مع احتمالات الأحداث.

النظر في المزيد من التفاصيل لرمي العملة. هناك 2 Exodus الحصري المتبادل: انبعاث معطف الأسلحة أو فقدان الاندفاع. نتيجة السلسلة عشوائية، نظرا لأن المراقب لا يستطيع تحليله ومراعاة جميع العوامل التي تؤثر على النتيجة. ما هو احتمال الشعار؟ معظم سوف يجيب، ولكن لماذا؟

دعونا رسميا لكن يشير إلى ترسب معطف الأسلحة. دع عملة تندفع ن. زمن. ثم احتمالية الحدث لكن من الممكن تحديد كحصة من تلك رميات، نتيجة لسقوط معطف الأسلحة:

أين ن. إجمالي الرميات، ن (أ) عدد خليط معطف الأسلحة.

العلاقة (1) تسمى تكرر الأحداث لكن في سلسلة طويلة من الاختبارات.

اتضح أنه في سلسلة مختلفة من الاختبارات التردد المقابل ن. ينمو حول بعض القيم الدائمة ص (أ)وبعد وتسمى هذه القيمة احتمال الحدث لكن وتدل على الرسالة رديئة- اختصار من الكلمة الإنجليزية احتمال - احتمال.

رسميا، لدينا:

(2)

هذا القانون يسمى قانون الأرقام الكبيرة.

إذا كانت العملة الصحيحة (متناظرة)، فإن احتمال انبعاث معطف الأسلحة يساوي احتمال فقدان النهر ويساوي.

اسمحوا ان لكن و في بعض الأحداث، على سبيل المثال، حدث حدث مؤمن عليه. الجمع بين حدثين هو حدث يتكون في تنفيذ حدث. لكن، الأحداث في، أو كلا الأحداث معا. تقاطع اثنين من الأحداث لكن و في دعا حدث يتكون في تنفيذ كل من الأحداث لكنوالأحداث في.

القواعد الأساسية حسابات احتمالية الحدث هي كما يلي:

1. يتم الانتهاء من احتمال أي حدث بين الصفر والوحدة:

2. دعوا وفي حدثين، إذن:

قراءة مثل هذا: احتمال الجمع بين حدثين مساويا بمجموع احتمالات هذه الأحداث ناقص احتمال عبور الأحداث. إذا كانت الأحداث غير مكتملة أو قصيرة الأجل، فإن احتمال الجمع (المبالغ) من حدثين مساويا بمجموع الاحتمالات. يسمى هذا القانون القانون إضافات منبثق.

نقول أن الأحداث موثوقة إذا كانت احتماليةها تساوي 1. عند تحليل بعض الظواهر، فإن السؤال ينشأ، كما يؤثر الحدث في في الأحداث لكنوبعد لهذا العرض احتمال مشروط :

(4)

قراءة مثل هذا: احتمال الهجوم لكن بشرط في يساوي احتمال التقاطع لكن و فيمقسوما على احتمال الحدث في.
في الفورمولا (4) يفترض أن احتمال الحدث في فوق الصفر.

يمكن أيضا كتابة الفورمولا (4) على النحو التالي:

(5)

هذه الصيغة الضرب من الاحتمالات.

كما يسمى الاحتمالية الشرطية vosterior. احتمال الحدث لكن - احتمال الهجوم لكن بعد البداية في.

في هذه الحالة، يسمى الاحتمال نفسه بداهة احتمالا. هناك بعض الصيغ الأكثر أهمية المستخدمة بشكل مكثف في الحسابات الاكتوارية.

صيغة احتمالية كاملة

لنفترض أن الخبرة يتم تنفيذها، التي يمكن القيام بها ظروفها مقدما. متبادل الافتراضات الحصرية (الفرضيات):

نفترض أن هناك إما فرضية أو ... سواء. احتمالات هذه الفرضيات معروفة ومتساوية:

ثم هناك صيغة ممتلىء احتمالا :

(6)

احتمال الحدث لكن يساوي كمية احتمالية الهجوم لكن مع كل فرضية على احتمال هذه الفرضية.

صيغة بايس.

صيغة بايس. يتيح لك إعادة حساب احتمالية الفرضيات في ضوء المعلومات الجديدة التي أعطتها النتيجة لكن.

صيغة بايس بمعنى معين هو عكس صيغة الاحتمالات الكاملة.

النظر في المهمة العملية التالية.

مهمة 1.

لنفترض أنه يحدث حدوث تحطم طائرة ويشارك خبراء في دراسة أسبابه. هناك 4 أسباب وقعت كارثة: إما السبب أو، أو، أو، أو. وفقا للإحصاءات الحالية، فإن هذه الأسباب لديها الاحتمالات التالية:

عند فحص موقع الكارثة، تم العثور على آثار إشعال الوقود، وفقا للإحصاءات، احتمال وجود هذا الحدث مع أسباب معينة هو:

سؤال: ما هو سبب الكارثة على الأرجح؟

احسب احتمالات أسباب حدوث الحدث لكن.

يمكن أن ينظر إليه أن السبب الأول هو الأكثر احتمالا، لأن احتمالها هو الحد الأقصى.

المهمة 2.

النظر في الهبوط الطائرة على المطار.

عند الهبوط، قد تكون الظروف الجوية مثل: لا توجد غيوم منخفضة ()، وهناك غيوم منخفضة (). في الحالة الأولى، احتمال الهبوط المزدهر يساوي P1.وبعد في الحالة الثانية - P2.وبعد انه واضح P1\u003e P2..

الأجهزة التي توفر الهبوط الأعمى لها احتمال خالية من المتاعب رديئةوبعد إذا كان هناك غيوم منخفضة وأجهزة الهبوط العمياء رفضت، فإن احتمال الهبوط الناجح يساوي P3.، و P3.<Р2 وبعد ومن المعروف أنه بالنسبة لهذا المطار، فإن حصة أيام في السنة مع سحابة منخفضة مساوية.

العثور على احتمال هبوط آمن للطائرات.

من الضروري إيجاد فرصة.

هناك نوعان من الخيارات الحصرية المتبادلة: تم رفض أجهزة الهبوط العمياء، وأجهزة الهبوط الأعمى، لذلك لدينا:

وبالتالي صيغة الاحتمال الكامل:

المهمة 3.

تشارك شركة التأمين في التأمين على الحياة. 10٪ من المؤمن في هذه الشركة مدخنون. إذا كان المؤمن عليه لا يدخن، فإن احتمال وفاته على مدار العام هو 0.01 إذا كان مدخنا، فهذا الاحتمال هو 0.05.

ما هي نسبة المدخنين بين الأشخاص المؤمنين الذين ماتوا خلال العام؟

خيارات الردود: (أ) 5٪، (ب) 20٪، (ج) 36٪، (د) 56٪، (ه) 90٪.

قرار

نقدم الأحداث:

حالة المهمة تعني ذلك

بالإضافة إلى ذلك، نظرا لأن الأحداث وتشكل مجموعة كاملة من الأحداث غير المتوافقة الزوجية، ثم.
احتمال الاهتمام هو.

باستخدام صيغة بايس، لدينا:

لذلك، الخيار صحيح ( في).

المهمة 4.

تبيع شركة التأمين عقد التأمين على الحياة لثلاث فئات: معيار ومميز ومتصل بكثير.

50٪ من جميع المؤمن عليهم هي معيار، 40٪ - متميز و 10٪ - إعادة توزيع الترا.

احتمال الوفاة خلال العام بالنسبة للمؤمنات المؤمنة القياسية هو 0.010، للمضمون - 0.005، وللحتفظ الترا - 0.001.

ما هو احتمال أن المؤمنين المتوفى هو مرونة للغاية؟

قرار

نقدم الأحداث التالية للنظر فيها:

من حيث هذه الأحداث، احتمال الاهتمام بنا هو. بشرط:

لأن الأحداث، تشكل مجموعة كاملة من الأحداث غير المتوافقة الزوجية باستخدام صيغة بايس لدينا:

المتغيرات العشوائية وخصائصها

دع بعض القيمة العشوائية، على سبيل المثال، تلف النيران أو مقدار مدفوعات التأمين.
يتميز القيمة العشوائية بالكامل بدالة التوزيع الخاصة بها.

تعريف.دور اتصل وظيفة التوزيع متغير عشوائي ξ .

تعريف.إذا كان هناك مثل هذه الوظيفة من أجل التعسفي أ. منجز