المخطط العام لدراسة الوظيفة عبر الإنترنت. الاستكشاف الكامل والتخطيط

ندعوك اليوم لاستكشاف الوظيفة ورسمها البياني معنا. بعد دراسة هذه المقالة بعناية ، لن تضطر إلى التعرق لفترة طويلة لإكمال هذا النوع من المهام. إن استكشاف وظيفة ما ورسمها ليس بالأمر السهل ، فالعمل ضخم ، ويتطلب أقصى قدر من الاهتمام والدقة في الحسابات. لتسهيل فهم المادة ، سوف ندرس نفس الوظيفة خطوة بخطوة ، ونوضح جميع إجراءاتنا وحساباتنا. مرحبًا بكم في عالم الرياضيات المذهل والمثير! يذهب!

اختصاص

من أجل استكشاف وظيفة ورسمها ، تحتاج إلى معرفة العديد من التعريفات. الوظيفة هي أحد المفاهيم الأساسية (الأساسية) في الرياضيات. يعكس العلاقة بين عدة متغيرات (متغيرين ، ثلاثة أو أكثر) مع التغييرات. تظهر الوظيفة أيضًا اعتماد المجموعات.

تخيل أن لدينا متغيرين لهما نطاق تباين معين. إذن ، y هي دالة في x ، بشرط أن تتوافق كل قيمة من المتغير الثاني مع قيمة واحدة من الثانية. في هذه الحالة ، يكون المتغير y تابعًا ويسمى دالة. من المعتاد أن نقول أن المتغيرين x و y موجودان. لمزيد من الوضوح لهذا الاعتماد ، يتم رسم رسم بياني للوظيفة. ما هو الرسم البياني للدالة؟ هذه مجموعة من النقاط على المستوى الإحداثي ، حيث تقابل كل قيمة x قيمة واحدة من y. يمكن أن تكون الرسوم البيانية مختلفة - الخط المستقيم والقطع الزائد والقطع المكافئ والجيوب الأنفية وما إلى ذلك.

من المستحيل رسم مخطط وظيفي بدون بحث. اليوم سوف نتعلم كيفية إجراء البحث وتحديد وظيفة. من المهم جدًا تدوين الملاحظات أثناء البحث. هذا سيجعل المهمة أسهل بكثير. خطة البحث الأكثر ملاءمة:

1. اختصاص.
2. استمرارية.
3. تعادل فردي أو زوجي.
4. دورية.
5. الخطوط المقاربة.
6. الأصفار.
7. ثبات العلامات.
8. زيادة وتناقص.
9. النهايات.
10. التحدب والتقعر.

لنبدأ بالنقطة الأولى. لنجد مجال التعريف ، أي في الفواصل الزمنية التي توجد بها وظيفتنا: y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). في حالتنا هذه ، الدالة موجودة لأي من قيم x ، أي المجال يساوي R. ويمكن كتابتها على النحو التالي xÎR.

استمرارية

الآن سنقوم بفحص وظيفة القطع. في الرياضيات ، ظهر مصطلح "استمرارية" نتيجة دراسة قوانين الحركة. ما هو اللانهائي؟ المكان والوقت وبعض التبعيات (مثال على ذلك اعتماد المتغيرين S و t في مشاكل الحركة) ، ودرجة حرارة الجسم المسخن (ماء ، مقلاة ، مقياس حرارة ، وما إلى ذلك) ، خط متصل (أي واحد التي يمكن رسمها دون إزالتها من ورقة قلم رصاص).

يعتبر الرسم البياني مستمراً إذا لم ينكسر في مرحلة ما. أحد أوضح الأمثلة على مثل هذا الرسم البياني هو الموجة الجيبية ، والتي يمكنك رؤيتها في الصورة في هذا القسم. تكون الوظيفة متصلة عند نقطة ما x0 إذا تم استيفاء عدد من الشروط:

• يتم تحديد وظيفة في هذه المرحلة ؛
• الحدود اليمنى واليسرى عند النقطة متساوية ؛
• الحد يساوي قيمة الدالة عند النقطة x0.

إذا لم يتم استيفاء شرط واحد على الأقل ، يُقال إن الوظيفة معطلة. وعادة ما تسمى النقاط التي تنقطع فيها الوظيفة بنقاط الانكسار. مثال على دالة "ستكسر" عند عرضها بيانياً: y = (x + 4) / (x-3). علاوة على ذلك ، لا توجد y عند النقطة x = 3 (لأنه من المستحيل القسمة على صفر).

في الوظيفة التي نفحصها (y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) ، تبين أن كل شيء بسيط ، لأن الرسم البياني سيكون مستمرًا.

زوجي ، غريب

الآن افحص وظيفة التكافؤ. أولا ، نظرية صغيرة. الوظيفة الزوجية هي الوظيفة التي تفي بالشرط f (-x) = f (x) لأي قيمة للمتغير x (من نطاق القيم). الامثله تشمل:

• الوحدة النمطية x (يبدو الرسم البياني مثل داو ، منصف الربعين الأول والثاني من الرسم البياني) ؛
• x تربيع (القطع المكافئ) ؛
• جيب التمام x (جيب التمام).

لاحظ أن كل هذه المؤامرات متناظرة عند عرضها بالنسبة إلى الإحداثي (أي y).

إذن ، ما يسمى بالدالة الفردية؟ هذه هي الوظائف التي تحقق الشرط: f (-x) = - f (x) لأي قيمة للمتغير x. أمثلة:

• القطع الزائد؛
• مكعب مكافئ
• الجيب.
• tangentoid وهلم جرا.

لاحظ أن هذه الوظائف متناظرة حول النقطة (0: 0) ، أي نقطة الأصل. بناءً على ما قيل في هذا القسم من المقالة ، يجب أن يكون للدالة الفردية والزوجية الخاصية: x ينتمي إلى مجموعة التعريفات و -x أيضًا.

دعونا نفحص وظيفة التكافؤ. يمكننا أن نرى أنه لا يتناسب مع أي من الأوصاف. لذلك ، فإن وظيفتنا ليست زوجية ولا فردية.

الخطوط المقاربة

لنبدأ بتعريف. الخط المقارب هو منحنى أقرب ما يمكن إلى الرسم البياني ، أي المسافة من نقطة تميل إلى الصفر. في المجموع ، هناك ثلاثة أنواع من الخطوط المقاربة:

• عمودي ، أي بالتوازي مع المحور ص ؛
• أفقي ، أي موازٍ للمحور x ؛
• يميل.

بالنسبة للنوع الأول ، يجب البحث عن خطوط البيانات المستقيمة في بعض النقاط:

• استراحة؛
• نهايات مجال التعريف.

في حالتنا هذه ، الدالة متصلة ، والمجال يساوي R. لذلك ، لا توجد خطوط مقاربة عمودية.

يحتوي الرسم البياني للوظيفة على خط مقارب أفقي ، والذي يفي بالمتطلبات التالية: إذا كان x يميل إلى اللانهاية أو ناقص اللانهاية ، وكان الحد يساوي رقمًا معينًا (على سبيل المثال ، أ). في هذه الحالة ، y = a - هذا هو الخط المقارب الأفقي. لا توجد خطوط مقاربة أفقية في الوظيفة التي نتحرى عنها.

لا يوجد الخط المقارب المائل إلا إذا تم استيفاء شرطين:

• ليم (و (س)) / س = ك ؛
• ليم و (س) -ككس = ب.

ثم يمكن إيجادها بالصيغة: y = kx + b. مرة أخرى ، في حالتنا ، لا توجد خطوط مقاربة مائلة.

الأصفار الوظيفية

الخطوة التالية هي فحص الرسم البياني للدالة عند الأصفار. من المهم أيضًا ملاحظة أن المهمة المرتبطة بإيجاد أصفار دالة لا تحدث فقط في دراسة الرسم البياني للوظيفة وتخطيطها ، ولكن أيضًا كمهمة مستقلة وكوسيلة لحل التفاوتات. قد يُطلب منك العثور على أصفار دالة على رسم بياني أو استخدام تدوين رياضي.

سيساعدك العثور على هذه القيم في رسم الدالة بشكل أكثر دقة. بعبارات بسيطة ، صفر دالة هو قيمة المتغير x ، حيث y = 0. إذا كنت تبحث عن أصفار دالة على الرسم البياني ، فعليك الانتباه إلى النقاط التي يتقاطع عندها الرسم البياني مع محور الإحداثي.

لإيجاد أصفار دالة ما ، عليك حل المعادلة التالية: y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) = 0. بعد إجراء الحسابات اللازمة نحصل على الإجابة التالية:

ثبات

تتمثل المرحلة التالية من البحث وبناء دالة (رسم بياني) في إيجاد فترات الثبات. هذا يعني أنه يجب علينا تحديد الفترات التي تأخذ فيها الدالة قيمة موجبة ، وفي أي منها - سالب. ستساعدنا أصفار الوظيفة الموجودة في القسم السابق على القيام بذلك. لذلك ، نحتاج إلى بناء خط مستقيم (منفصل عن الرسم البياني) وتوزيع أصفار الدالة من الأصغر إلى الأكبر بالترتيب الصحيح. أنت الآن بحاجة إلى تحديد الفواصل الزمنية الناتجة التي بها علامة "+" وأيها "-".

في حالتنا ، تأخذ الدالة قيمة موجبة في الفترات الزمنية:

• من 1 إلى 4 ؛
• من 9 إلى ما لا نهاية.

معنى سلبي:

• من سالب ما لا نهاية إلى 1 ؛
• 4 إلى 9.

هذا سهل التحديد. عوّض بأي رقم من الفترة في الدالة وانظر ما هي علامة الإجابة (ناقص أو زائد).

زيادة الوظائف وتناقصها

من أجل التحقيق في دالة وإنشائها ، نحتاج إلى معرفة المكان الذي سيزداد فيه الرسم البياني (صعودًا على طول Oy) ، وأين سينخفض ​​(الزحف إلى أسفل الإحداثي).

تزيد الدالة فقط إذا كانت القيمة الأكبر للمتغير x تتوافق مع القيمة الأكبر لـ y. أي أن x2 أكبر من x1 و f (x2) أكبر من f (x1). ونلاحظ ظاهرة معاكسة تمامًا في دالة تناقص (كلما زاد س ، قل ص). لتحديد فترات الزيادة والنقصان ، عليك إيجاد ما يلي:

• النطاق (لدينا بالفعل) ؛
• المشتق (في حالتنا: 1/3 (3x ^ 2-28x + 49) ؛
• حل المعادلة 1/3 (3x ^ 2-28x + 49) = 0.

بعد الحسابات نحصل على النتيجة:

نحصل على: تزداد الدالة في الفترات من سالب ما لا نهاية إلى 7/3 ومن 7 إلى ما لا نهاية ، وتنخفض في الفترة من 7/3 إلى 7.

النهايات

الدالة التي تم فحصها y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) متصلة وموجودة لأي قيم للمتغير x. تُظهر النقطة القصوى الحد الأقصى والأدنى لهذه الوظيفة. في حالتنا ، لا يوجد أي شيء ، مما يبسط إلى حد كبير مهمة البناء. خلاف ذلك ، يتم إيجادها أيضًا باستخدام مشتق الدالة. بعد العثور عليها ، لا تنس وضع علامة عليها على الرسم البياني.

التحدب والتقعر

نواصل التحقيق في الوظيفة y (x) بشكل أكبر. الآن نحن بحاجة إلى التحقق من التحدب والتقعر. يصعب إدراك تعاريف هذه المفاهيم ، فمن الأفضل تحليل كل شيء بالأمثلة. بالنسبة للاختبار: تكون الوظيفة محدبة إذا كانت دالة غير متناقصة. موافق ، هذا غير مفهوم!

علينا إيجاد مشتقة دالة من الدرجة الثانية. نحصل على: y = 1/3 (6x-28). الآن لنجعل الطرف الأيمن يساوي صفرًا ونحل المعادلة. الجواب: س = 14/3. وجدنا نقطة الانعطاف ، أي المكان الذي يتغير فيه الرسم البياني من التحدب إلى التقعر ، أو العكس. في الفترة من سالب ما لا نهاية إلى 14/3 ، تكون الوظيفة محدبة ، ومن 14/3 إلى زائد ما لا نهاية ، تكون مقعرة. من المهم أيضًا ملاحظة أن نقطة الانعطاف على الرسم البياني يجب أن تكون سلسة وناعمة ، ويجب ألا توجد زوايا حادة.

تعريف النقاط الإضافية

مهمتنا هي التحقيق ورسم الوظيفة. لقد انتهينا من بحثنا ، ولن يكون من الصعب الآن رسم مخطط وظيفي. للحصول على إعادة إنتاج أكثر دقة وتفصيلاً لمنحنى أو خط مستقيم على مستوى الإحداثيات ، يمكنك العثور على عدة نقاط مساعدة. من السهل جدا حسابها. على سبيل المثال ، نأخذ x = 3 ، ونحل المعادلة الناتجة ، ونوجد y = 4. أو x = 5 و y = -5 وهكذا. يمكنك الحصول على العديد من النقاط الإضافية التي تحتاجها للبناء. تم العثور على 3-5 على الأقل.

رسم الرسم البياني

كنا بحاجة إلى التحقق من الوظيفة (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) * 1/3 = y. تم إجراء جميع الملاحظات اللازمة أثناء الحسابات على مستوى الإحداثيات. كل ما يتبقى هو إنشاء رسم بياني ، أي ربط جميع النقاط ببعضها البعض. يجب أن يكون ربط النقاط سلسًا وأنيقًا ، إنها مسألة مهارة - القليل من التدريب وسيكون جدولك مثاليًا.

تعليمات

ابحث عن نطاق الوظيفة. على سبيل المثال ، يتم تعريف دالة sin (x) على مدار الفترة الزمنية الكاملة من-إلى + ، ويتم تعريف وظيفة 1 / x من-إلى + ، باستثناء النقطة x = 0.

تحديد مجالات الاستمرارية ونقاط الانقطاع. عادة ما تكون الوظيفة مستمرة في نفس المنطقة حيث يتم تعريفها. لاكتشاف حالات عدم الاستمرارية ، تحتاج إلى الحساب مع اقتراب الوسيطة من النقاط المعزولة داخل المجال. على سبيل المثال ، تميل الوظيفة 1 / x إلى اللانهاية عندما x → 0 + ، وإلى سالب اللانهاية عندما x → 0-. هذا يعني أنه عند النقطة x = 0 يكون لها انقطاع من النوع الثاني.
إذا كانت الحدود عند نقطة الانقطاع محدودة ولكنها غير متساوية ، فهذا انقطاع من النوع الأول. إذا كانت متساوية ، فإن الوظيفة تعتبر مستمرة ، على الرغم من أنها غير محددة في نقطة معزولة.

ابحث عن الخطوط المقاربة العمودية ، إن وجدت. ستساعدك حسابات الخطوة السابقة هنا ، نظرًا لأن الخط المقارب العمودي يكون دائمًا تقريبًا عند نقطة انقطاع النوع الثاني. ومع ذلك ، في بعض الأحيان لا يتم استبعاد النقاط الفردية من منطقة التعريف ، ولكن الفواصل الزمنية الكاملة للنقاط ، ومن ثم يمكن وضع الخطوط المقاربة العمودية عند حواف هذه الفواصل الزمنية.

تحقق مما إذا كانت الوظيفة لها خصائص خاصة: التكافؤ والتكافؤ الفردي والتواتر.
ستكون الوظيفة حتى لو لأي x في المجال f (x) = f (-x). على سبيل المثال ، cos (x) و x ^ 2 هي وظائف زوجية.

الدورية هي خاصية تشير إلى وجود رقم معين T ، يسمى فترة ، أي x f (x) = f (x + T). على سبيل المثال ، جميع الدوال المثلثية الأساسية (الجيب وجيب التمام والظل) دورية.

أوجد النقاط. للقيام بذلك ، احسب مشتقة الدالة المعطاة وابحث عن قيم x حيث تختفي. على سبيل المثال ، الدالة f (x) = x ^ 3 + 9x ^ 2 -15 لها مشتق g (x) = 3x ^ 2 + 18x ، والتي تختفي عند x = 0 و x = -6.

لتحديد أي من النقاط القصوى هي نقاط قصوى وأيها هي نقاط دنيا ، تتبع التغيير في علامة المشتق في الأصفار التي تم العثور عليها. g (x) تغير علامة من زائد عند النقطة x = -6 ، وعند النقطة x = 0 تعود من سالب إلى زائد. لذلك ، فإن الدالة f (x) لها حد أدنى عند النقطة الأولى والثانية.

وهكذا ، فقد وجدت مناطق رتابة: f (x) تزداد بشكل رتيب على الفاصل -∞ ؛ -6 ، تنخفض بشكل رتيب بمقدار -6 ؛ 0 ، وتزيد مرة أخرى بمقدار 0 ؛ +.

أوجد المشتق الثاني. ستظهر جذوره أين سيكون الرسم البياني لوظيفة معينة محدبًا وأين سيكون مقعرًا. على سبيل المثال ، المشتق الثاني للدالة f (x) سيكون h (x) = 6x + 18. يختفي عند x = -3 ، ويغير الإشارة من سالب إلى موجب. لذلك ، فإن الرسم البياني f (x) قبل هذه النقطة سيكون محدبًا ، وبعده - مقعر ، وهذه النقطة نفسها ستكون نقطة الانعطاف.

يمكن أن تحتوي الوظيفة على خطوط مقاربة أخرى إلى جانب الخطوط الرأسية ، ولكن فقط إذا تم تضمينها في مجال تعريفها. للعثور عليهم ، احسب نهاية f (x) مثل x → ∞ أو x →-. إذا كانت محدودة ، فقد وجدت الخط المقارب الأفقي.

الخط المقارب المائل هو خط مستقيم بالصيغة kx + b. لإيجاد k ، احسب نهاية f (x) / x على شكل x → ∞. لإيجاد b - حد (f (x) - kx) لنفس x → ∞.

ارسم الدالة على البيانات المحسوبة. قم بتسمية الخطوط المقاربة ، إن وجدت. حدد النقاط القصوى وقيم الوظيفة فيها. لمزيد من الدقة في الرسم البياني ، احسب قيم الوظيفة في عدة نقاط وسيطة أخرى. اكتمل البحث.

النقاط المرجعية في دراسة الوظائف وبناء الرسوم البيانية الخاصة بهم هي نقاط مميزة - نقاط الانقطاع ، الحد الأقصى ، الانقلاب ، التقاطع مع محاور الإحداثيات. بمساعدة حساب التفاضل والتكامل ، من الممكن تحديد السمات المميزة للتغيرات في الوظائف: الزيادة والنقصان ، والحد الأقصى والحد الأدنى ، واتجاه التحدب والتقعر في الرسم البياني ، ووجود الخطوط المقاربة.

يمكن (ويجب) رسم مخطط الرسم البياني للوظيفة بعد العثور على الخطوط المقاربة والنقاط القصوى ، ومن الملائم ملء الجدول المحوري لدراسة الوظيفة أثناء الدراسة.

عادة ، يتم استخدام مخطط دراسة الوظيفة التالي.

1.أوجد المجال وفترات الاستمرارية ونقاط انقطاع الدالة.

2.تحقق من دالة التساوي أو الغرابة (التناظر المحوري أو المركزي للرسم البياني.

3.ابحث عن الخطوط المقاربة (عمودية أو أفقية أو مائلة).

4.ابحث عن فترات الزيادة والنقصان في الوظيفة ونقاط نهايتها القصوى واستقصاها.

5.أوجد فترات التحدب والتقعر للمنحنى ونقاط انعطافه.

6.ابحث عن نقاط تقاطع المنحنى مع محاور الإحداثيات ، إن وجدت.

7.قم بإعداد جدول ملخص للدراسة.

8.أنشئ رسمًا بيانيًا ، مع مراعاة دراسة الوظيفة ، التي تم إجراؤها على النقاط المذكورة أعلاه.

مثال.اكتشف الوظيفة

وإنشاء رسم بياني لها.

7. لنؤلف جدولًا موجزًا ​​لدراسة الوظيفة ، حيث سنقوم بإدخال جميع النقاط المميزة والفترات الفاصلة بينها. بالنظر إلى تكافؤ الوظيفة ، نحصل على الجدول التالي:

للحصول على دراسة كاملة للوظيفة والتخطيط للرسم البياني لها ، يوصى باستخدام المخطط التالي:

1) ابحث عن مجال الوظيفة ؛

2) ابحث عن نقاط انقطاع الوظيفة والخطوط المقاربة العمودية (إن وجدت) ؛

3) التحقيق في سلوك الوظيفة عند اللانهاية ، والعثور على الخطوط المقاربة الأفقية والمائلة ؛

4) التحقق من وظيفة التكافؤ (الغرابة) والتواتر (للوظائف المثلثية) ؛

5) أوجد القيم القصوى وفترات رتابة الوظيفة ؛

6) تحديد فترات التحدب ونقاط الانعطاف ؛

7) ابحث عن نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات ، إن أمكن ، وبعض النقاط الإضافية التي تحسن الرسم البياني.

تتم دراسة الوظيفة بالتزامن مع بناء الرسم البياني الخاص بها.

المثال 9استكشف الوظيفة وارسم الرسم البياني.

1. نطاق التعريف: ؛

2. الوظيفة معطلة عند بعض النقاط
,
;

دعونا نفحص وظيفة وجود الخطوط المقاربة العمودية.

;
,
─ خط مقارب عمودي.

;
,
─ خط مقارب عمودي.

3. دعونا نتحرى وظيفة وجود خطوط مقاربة مائلة وأفقية.

على التوالي. مستقيم
─ خط مقارب مائل إذا
,
.

,
.

على التوالي. مستقيم
─ خط مقارب أفقي.

4. الوظيفة حتى لأن
... يشير تكافؤ الوظيفة إلى تناظر الرسم البياني حول المحور الإحداثي.

5. دعونا نجد فترات الرتابة والنهايات القصوى للدالة.

لنجد النقاط الحرجة ، أي النقاط التي يكون فيها المشتق 0 أو غير موجود:
;
... لدينا ثلاث نقاط
;

... تقسم هذه النقاط المحور الصالح بأكمله إلى أربع مسافات. دعونا نحدد العلامات على كل منهم.

على الفواصل الزمنية (-؛ -1) و (-1 ؛ 0) تزيد الوظيفة ، على الفترات الزمنية (0 ؛ 1) و (1 ؛ + ∞) ─ تقل. عند عبور نقطة
يتغير المشتق من موجب إلى سالب ، لذلك عند هذه النقطة يكون للدالة قيمة قصوى
.

6. ابحث عن فترات التحدب ونقاط الانعطاف.

أوجد النقاط التي عندها هو 0 ، أو غير موجود.

ليس له جذور صالحة.
,
,

نقاط
و
قسّم المحور الحقيقي إلى ثلاث فترات. دعونا نحدد العلامة في كل فترة.

وهكذا ، فإن المنحنى على فترات
و
محدب لأسفل ، على الفاصل الزمني (-1 ؛ 1) محدب لأعلى ؛ لا توجد نقاط انعطاف ، لأن الوظيفة عند النقاط
و
غير محدد.

7. إيجاد نقاط التقاطع مع المحاور.

مع المحور
يتقاطع الرسم البياني للوظيفة عند النقطة (0 ؛ -1) ومع المحور
الرسم البياني لا يتداخل ، لأن ليس لبسط هذه الدالة جذور حقيقية.

يظهر الرسم البياني لوظيفة معينة في الشكل 1.

الشكل 1 ، الرسم البياني للوظيفة

تطبيق مفهوم المشتق في الاقتصاد. مرونة الوظيفة

لدراسة العمليات الاقتصادية وحل المشكلات التطبيقية الأخرى ، غالبًا ما يستخدم مفهوم مرونة الوظيفة.

تعريف.مرونة الوظيفة
يسمى حد نسبة الزيادة النسبية للدالة للزيادة النسبية للمتغير في
و. (السابع)

تُظهر مرونة الدالة نسبة تقريبية للتغير في الوظيفة
عند تغيير المتغير المستقل بنسبة 1٪.

يتم تطبيق مرونة الوظيفة في تحليل الطلب والاستهلاك. إذا كانت مرونة الطلب (بالقيمة المطلقة)
، فإن الطلب يعتبر مرنًا إذا
─ محايدة إذا
─ غير مرن فيما يتعلق بالسعر (أو الدخل).

المثال 10احسب مرونة دالة
وإيجاد قيمة مؤشر المرونة ل = 3.

الحل: حسب الصيغة (السابع) مرونة الوظيفة:

دع x = 3 ، إذن
هذا يعني أنه إذا زاد المتغير المستقل بنسبة 1٪ ، فإن قيمة المتغير التابع ستزيد بنسبة 1.42٪.

المثال 11دع وظيفة الطلب بخصوص السعر لديه الشكل
، أين ─ معامل ثابت. أوجد قيمة مؤشر مرونة دالة الطلب عند السعر x = 3 den. الوحدات

الحل: احسب مرونة دالة الطلب بالصيغة (VII)

بافتراض
الوحدات النقدية ، نحصل عليها
... هذا يعني ذلك بسعر
وحدات نقدية ستؤدي زيادة الأسعار بنسبة 1٪ إلى انخفاض الطلب بنسبة 6٪ ، أي الطلب مرن.

للحصول على دراسة كاملة للوظيفة ورسم الرسم البياني لها ، يوصى باستخدام المخطط التالي:
أ) ابحث عن منطقة التعريف ونقاط الانكسار ؛ تحقق من سلوك الوظيفة بالقرب من نقاط عدم الاستمرارية (أوجد حدود الوظيفة على اليسار واليمين عند هذه النقاط). حدد الخطوط المقاربة العمودية.
ب) تحديد تساوي أو شذوذ الوظيفة واستخلاص استنتاج حول وجود التناظر. إذا كانت الوظيفة متساوية حول محور OY ؛ لأن الوظيفة غريبة ، متماثلة حول الأصل ؛ وإذا - دالة ذات شكل عام.
ج) إيجاد نقاط تقاطع الدالة مع محوري الإحداثيات OY و OX (إن أمكن) ، وتحديد فترات الإشارة الثابتة للوظيفة. يتم تحديد حدود الفواصل الزمنية للإشارة الثابتة للوظيفة من خلال النقاط التي تكون فيها الوظيفة مساوية للصفر (أصفار الوظيفة) أو غير موجودة وبحدود مجال هذه الوظيفة. في الفواصل الزمنية التي يقع فيها الرسم البياني للوظيفة أعلى محور OX ، وحيث - أسفل هذا المحور.
د) إيجاد المشتق الأول للدالة وتحديد أصفارها وفترات الثبات. في الفترات التي تزيد فيها الوظيفة وتنقص. توصل إلى استنتاج حول وجود القيمة القصوى (النقاط التي توجد فيها الوظيفة والمشتق وعند المرور من خلالها علامة التغييرات. إذا تغيرت الإشارة من موجب إلى سالب ، عند هذه النقطة يكون للدالة قيمة قصوى ، وإذا كانت من سالب إلى موجب ، ثم الحد الأدنى). أوجد قيم الدالة عند النقاط القصوى.
هـ) أوجد المشتق الثاني وأصفاره وفترات الثبات. في فترات حيث< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
هـ) ابحث عن الخطوط المقاربة المائلة (الأفقية) ، والتي لها شكل معادلاتها ؛ أين
.
في سيكون للرسم البياني للوظيفة خطين مقاربين مائلين ، وكل قيمة من قيم x عند وقد تتوافق مع قيمتين من b.
ز) البحث عن نقاط إضافية لتحسين الجدول (إذا لزم الأمر) وإنشاء رسم بياني.

مثال 1 افحص الوظيفة وارسمها بالرسم البياني. الحل: أ) النطاق ؛ الوظيفة مستمرة في مجال التعريف ؛ - نقطة الانهيار ، لأن ؛ ... ثم الخط المقارب العمودي.
ب)
أولئك. y (x) هي وظيفة عامة.
ج) ابحث عن نقاط تقاطع الرسم البياني مع محور OY: قمنا بتعيين x = 0 ؛ ثم y (0) = - 1 ، أي يتقاطع الرسم البياني للوظيفة مع المحور عند النقطة (0 ؛ -1). أصفار الوظيفة (نقاط تقاطع الرسم البياني مع محور OX): قمنا بتعيين y = 0 ؛ من ثم
.
مميز المعادلة التربيعية أقل من الصفر ، لذلك لا يوجد أصفار. ثم تكون حدود فترات الثبات هي النقطة x = 1 ، حيث لا توجد الوظيفة.
يتم تحديد علامة الوظيفة في كل فترة من الفترات بطريقة القيم المعينة:

يمكن أن نرى من الرسم التخطيطي أنه في الفاصل الزمني ، يقع الرسم البياني للوظيفة أسفل محور OX ، وفي الفاصل الزمني - أعلى محور OX.
د) اكتشف وجود النقاط الحرجة.
.
تم العثور على النقاط الحرجة (حيث أو لا توجد) من المساواة و.

نحصل على: x1 = 1 ، x2 = 0 ، x3 = 2. لنقم بإنشاء جدول إضافي

الجدول 1

(يحتوي السطر الأول على النقاط الحرجة والفواصل الزمنية التي يتم فيها تقسيم هذه النقاط بواسطة محور OX ؛ بينما يشير السطر الثاني إلى قيم المشتق عند النقاط الحرجة والعلامات على الفواصل الزمنية. يتم تحديد العلامات بالطريقة من القيم الجزئية يشير السطر الثالث إلى قيم الدالة y (x) في النقاط الحرجة ويظهر سلوك الوظيفة - بالزيادة أو النقصان في الفترات المقابلة للمحور العددي.
هـ) أوجد فترات التحدب والتقعر للوظيفة.
؛ بناء جدول كما في النقطة د) ؛ فقط في السطر الثاني نكتب العلامات ، وفي السطر الثالث نشير إلى نوع التحدب. لأن ؛ إذن هناك نقطة حرجة واحدة فقط س = 1.
الجدول 2

النقطة س = 1 هي نقطة الانعطاف.
هـ) ابحث عن الخطوط المقاربة المائلة والأفقية

ثم y = x خط مقارب مائل.
ز) باستخدام البيانات التي تم الحصول عليها ، نقوم ببناء رسم بياني للوظيفة

1). مجال تعريف الوظيفة.
من الواضح أن هذه الوظيفة مُعرَّفة على خط الأعداد الصحيح ، باستثناء النقطتين "" و "" منذ ذلك الحين عند هذه النقاط ، يكون المقام صفراً ، وبالتالي لا توجد وظيفة ، والخطوط المستقيمة والخطوط المقاربة العمودية.

2). سلوك الوظيفة عندما تميل الحجة إلى اللانهاية ، ووجود نقاط عدم الاستمرارية والتحقق من وجود خطوط مقاربة مائلة.
دعونا أولاً نتحقق من سلوك الدالة عند الاقتراب من اللانهاية لليسار واليمين.

وهكذا ، عند ، تميل الوظيفة إلى 1 ، أي - خط مقارب أفقي.
على مقربة من نقاط الانقطاع ، يتم تعريف سلوك الوظيفة على النحو التالي:


أولئك. عند الاقتراب من نقاط عدم الاستمرارية على اليسار ، تقل الوظيفة بشكل لا نهائي ، وعلى اليمين تزداد بلا حدود.
يتم تحديد وجود خط مقارب مائل من خلال النظر في المساواة:

لا توجد خطوط مقاربة مائلة.

3). نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات.
من الضروري هنا مراعاة حالتين: العثور على نقطة التقاطع مع محور الثور ومع محور Oy. علامة التقاطع مع محور الثور هي القيمة الصفرية للدالة ، أي من الضروري حل المعادلة:

هذه المعادلة ليس لها جذور ، وبالتالي فإن الرسم البياني لهذه الوظيفة ليس له نقاط تقاطع مع محور الثور.
علامة التقاطع مع محور Oy هي القيمة x = 0. في هذه الحالة ،
,
أولئك. - نقطة تقاطع الرسم البياني للدالة مع المحور Oy.

4).تحديد النقاط القصوى وفترات الزيادة والنقصان.
للتحقيق في هذه المشكلة ، نحدد المشتق الأول:
.
دعونا نساوي قيمة المشتق الأول بصفر.
.
الكسر يساوي صفرًا عندما يكون بسطه صفرًا ، أي ...
دعونا نحدد فترات الزيادة والنقصان في الوظيفة.

وبالتالي ، فإن الوظيفة لها نقطة نهائية واحدة ولا توجد عند نقطتين.
وبالتالي ، تزيد الوظيفة في الفترات وتقل في الفترات الزمنية و.

5). نقاط الانعطاف ومناطق التحدب والتقعر.
يتم تحديد خاصية سلوك الوظيفة باستخدام المشتق الثاني. دعونا أولاً نحدد وجود نقاط الانعطاف. المشتق الثاني للدالة هو

في والوظيفة مقعرة ؛

من أجل والوظيفة محدبة.

6). رسم دالة.
باستخدام القيم الموجودة في النقاط ، نقوم بإنشاء رسم تخطيطي للوظيفة:

حل
الوظيفة المعينة هي وظيفة عامة غير دورية. يمر الرسم البياني الخاص به من خلال الأصل ، منذ ذلك الحين.
مجال الوظيفة المعينة هو جميع قيم المتغير ، باستثناء و ، حيث يتلاشى مقام الكسر.
وبالتالي ، فإن النقاط ونقاط انقطاع الوظيفة.
لأن ,

لأن ,
، فإن النقطة هي نقطة فاصل من النوع الثاني.
الخطوط المستقيمة والخطوط المقاربة العمودية للرسم البياني للوظيفة.
معادلات الخطوط المقاربة المائلة ، حيث ، .
في ,
.
وهكذا ، فإن الرسم البياني للوظيفة له خط مقارب واحد.
دعونا نجد فترات الزيادة والنقصان للوظيفة والنقاط القصوى.
.
المشتق الأول للدالة عند ، وبالتالي ، في ، والدالة تزداد.
متى ، لذلك ، متى ، تنخفض الوظيفة.
لا يوجد ل.
، لذلك ، من أجل الرسم البياني للدالة مقعر.
في ، لذلك ، من أجل الرسم البياني للدالة محدب.

عند المرور بالنقاط ،، تغير علامة. عندما لا يتم تعريف الوظيفة ، فإن الرسم البياني للوظيفة يحتوي على نقطة انعطاف واحدة.
دعنا نرسم الدالة.