كيف يتم حساب الاحتمال. صيغة الاحتمالية الكلاسيكية

يسمى الاتحاد (المجموع المنطقي) لعدد N من الأحداث بالحدث ، والذي يتم ملاحظته في كل مرة يحدث فيها واحد على الأقل منالأحداث . على وجه الخصوص ، اتحاد الأحداث A و B هو الحدث أ+ ب(بعض المؤلفين
) ، والذي يتم ملاحظته عندما يأتيأو أ،أو بأو كلا الحدثين في نفس الوقت(الشكل 7). علامة التقاطع في الصياغات النصية للأحداث هي الاتحاد "أو".

أرز. 7. الجمع بين أحداث A + B

يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن احتمال الحدث P (A) يتوافق مع الجزء الأيسر من المظلل في الشكل. 7 أرقام ، والجزء المركزي منها ، تم وضع علامة عليه
. والنتائج المقابلة للحدث B تقع على الجانب الأيمن من الشكل المظلل وفي الشكل المسمى
جزء مركزي. وهكذا ، عند إضافة و مساحة
يدخل هذا المجموع مرتين بالفعل ، ويكون التعبير الدقيق لمساحة الشكل المظلل على الشكل
.

وبالتالي، احتمالية الارتباطحدثان A و B هو

بالنسبة لعدد أكبر من الأحداث ، يصبح تعبير الحساب العام مرهقًا للغاية بسبب الحاجة إلى مراعاة العديد من الخيارات للتداخل المتبادل بين المناطق. ومع ذلك ، إذا كانت الأحداث المجمعة غير متوافقة (انظر ص 33) ، فإن التداخل المتبادل بين المناطق يكون مستحيلًا ، ويتم تحديد المنطقة المفضلة مباشرة بمجموع المناطق المقابلة للأحداث الفردية.

احتمالا ذات الصلةعدد التعسفي غير متوافقالأحداث يتم تعريفه من خلال التعبير

النتيجة الطبيعية 1: مجموعة كاملة من الأحداث تتكون من أحداث غير متوافقة ، أحدها يتحقق بالضرورة في التجربة. نتيجة ل، إذا الأحداث …
,تشكيل مجموعة كاملةثم لهم

في هذا الطريق،

منالنتيجة 3نأخذ في الاعتبار أن عكس العبارة "سيحدث حدث واحد على الأقل …
"هو البيان" أيا من الأحداث …
لم يتم تنفيذه ". بمعنى آخر ، "سيتم ملاحظة الأحداث في التجربة ، و ، و و "، وهو بالفعل تقاطع الأحداث التي تتعارض مع المجموعة الأصلية. ومن ثم ، مع الأخذ في الاعتبار (2 .0) ، لدمج عدد تعسفي من الأحداث ، نحصل عليها

تظهر النتائج الطبيعية 2 ، 3 أنه في تلك الحالات التي يكون فيها الحساب المباشر لاحتمال وقوع حدث ما يمثل مشكلة ، فمن المفيد تقدير مدى تعقيد دراسة حدث معاكس له. بعد كل شيء ، معرفة المعنى
، احصل من (2 .0) القيمة المرغوبة
لا مزيد من العمل.

1. أمثلة على حساب احتمالات الأحداث المعقدة

مثال 1 : طالبان (إيفانوف وبيتروف) معًا أناملتف للدفاع عن العمل المخبري ، بعد أن تعلم أول 8 كونأسئلة التصيد لهذا العمل من أصل 10 متاح. التحقق من الاستعداد ،المعلم يسأل الجميع واحد فقطn سؤال تم اختياره عشوائيًا. حدد احتمال الأحداث التالية:

أ= "إيفانوف سيدافع عن عمله المخبري" ؛

ب= "بيتروف سيدافع عن عمله المخبري" ؛

ج= "كلاهما سيدافع عن العمل المخبري" ؛

د= "واحد على الأقل من الطلاب سيدافع عن العمل" ؛

ه= "واحد فقط من الطلاب سيدافع عن العمل" ؛

F= "لن يدافع أي منهم عن العمل."

المحلول. لاحظ أن القدرة على الدفاع عن العمل مثل Ivanov، tمثل بيتروف بشكل فردي يتم تحديده فقط من خلال عدد الأسئلة التي يتقن الشاعرفي. (ملاحظة: في هذا المثال ، لم يتم اختزال قيم الكسور الناتجة عمدًا لتبسيط مقارنة نتائج الحساب.)

هدفجيمكن صياغتها بشكل مختلف حيث "سيدافع كل من إيفانوف وبيتروف عن العمل" ، أي سوف يحدثو حدثأ, و حدثب. هكذا الحدثجهو تقاطع الأحداثأوبوبحسب (2 .0)

حيث يظهر العامل "7/9" بسبب وقوع الحدثأيعني أن إيفانوف حصل على سؤال "جيد" ، مما يعني أنه من بين الأسئلة التسعة المتبقية ، لدى بيتروف الآن 7 أسئلة "جيدة" فقط.

هدفديعني ضمناً أن "العمل سيكون محمياًأو إيفانوف ،أو بيتروف ،أو كلاهما معًا "، أي سيحدث واحد على الأقل من الأحداثأوب. لذا فإن الحدثدهو اتحاد الأحداثأوبوبحسب (2 .0)

وهو ما يتماشى مع التوقعات ، لأن حتى بالنسبة لكل طالب على حدة ، فإن فرص النجاح عالية جدًا.

منالحدث E يعني أن "إما أن يدافع إيفانو عن العملج ، وبيتروف "نينهار "،أو سوف يفشل إيفانوفالايجابيات ، وبيتروف سوف يتعامل مع الدفاع. البديلان متنافيان (غير متوافقين) ، لذلك

أخيرا ، البيانFسيكون صحيحًا فقط إذاو إيفانوف ،و بتروف مع الحمايةليس التأقلم." وبالتالي،

هذا يكمل حل المشكلة ، لكن من المفيد ملاحظة النقاط التالية:

1. كل من الاحتمالات التي تم الحصول عليها تفي بالشرط (1 .0) ، nس إذا ل
و
الحصول على الصراعمع(1 .0) مستحيل من حيث المبدأ ، إذن
محاولة لاستخدام (2 .0) بدلاً من (2 .0) سيؤدي إلى خطأ واضحقيمة المشروع
. من المهم أن تتذكر أن مثل هذه القيمة الاحتمالية مستحيلة في الأساس ، وعندما يتم الحصول على مثل هذه النتيجة المتناقضة ، ابدأ فورًا في البحث عن خطأ.

2. الاحتمالات التي تم العثور عليها ترضي العلاقاتم

.

هثم من المتوقع تماما ، لأن التطوراتج, هوFشكل كاملالمجموعة والأحداثدوFعلى عكس بعضها البعض. محاسبة لهذهيمكن استخدام النسب من ناحيةشاحنة لإعادة فحص الحسابات ، وفي حالة أخرى يمكن أن تكون بمثابة أساس لطريقة بديلة لحل المشكلة.

ص ملاحظة : لا تهمل الكتابةالصياغة الدقيقة للحدث ، وإلا ، أثناء حل المشكلة ، يمكنك التبديل بشكل لا إرادي إلى تفسير مختلف لمعنى هذا الحدث ، مما سيؤدي إلى أخطاء في التفكير.

مثال 2 : في مجموعة كبيرة من الدوائر الدقيقة التي لم تجتاز مراقبة جودة الإخراج ، يكون 30٪ من المنتجات معيبة.إذا تم اختيار أي دائرتين صغيرتين عشوائيًا من هذه الدفعة ، فما هواحتمال أن من بينها:

أ= "كلاهما مناسب" ؛

ب= "شريحة واحدة جيدة بالضبط" ؛

ج= "كلاهما معيب".

دعونا نحلل البديل التالي من التفكير (دقيق ، يحتوي على خطأ):

نظرًا لأننا نتحدث عن مجموعة كبيرة من المنتجات ، فإن إزالة العديد من الدوائر الدقيقة منها عمليًا لا يؤثر على نسبة عدد المنتجات الجيدة والمعيبة ، مما يعني أنه من خلال اختيار بعض الدوائر الدقيقة من هذه الدفعة عدة مرات على التوالي ، فإننا يمكن أن نفترض أنه في كل حالة هناك احتمالات غير متغيرة

= ص(يتم اختيار منتج معيب) = 0.3 و

= ص(منتج جيد تم اختياره) = 0.7.

لحدث ماأمن الضروري أنو في البدايه،و للمرة الثانية ، تم اختيار منتج مناسب ، وبالتالي (مع مراعاة استقلالية نجاح اختيار الدائرة المصغرة الأولى والثانية عن بعضها البعض) ، لتقاطع الأحداث لدينا

وبالمثل ، لكي يحدث الحدث C ، يجب أن يكون كلا المنتجين معيبًا ، وللحصول على B ، تحتاج إلى تحديد منتج جيد مرة واحدة ومنتج معيب مرة واحدة.

علامة الخطأ. Xعلى الرغم من أن جميع الاحتمالات التي تم الحصول عليها أعلاهوتبدو معقولة ، عندما يتم تحليلها معًا ، فمن السهللاحظ أن .ومع ذلك ، فإن الحالاتأ, بوجشكل كاملمجموعة من الأحداث التي من أجلها .هذا التناقض يدل على وجود بعض الخطأ في التفكير.

من UT الأخطاء. دعونا نقدم اثنين من المساعدينالأحداث:

= "الشريحة الأولى جيدة ، والثانية معيبة" ؛

= "الشريحة الأولى معيبة ، الثانية جيدة".

من الواضح ، مع ذلك ، أنه تم استخدام خيار الحساب هذا أعلاه للحصول على احتمال وقوع الحدثب، على الرغم من الأحداثبو ليست هما يعادل. فعلا،
، لأن الصياغةالتطوراتبيتطلب ذلك من بين الدوائر الدقيقة بالضبطواحد ، لكن تمامًاليس بالضرورة الأول كان جيدًا (والآخر كان معيبًا). لذلك ، على الرغم من حدث ليس حدثًا مكررًا ، ولكن ينبغي أن تؤخذ في الاعتبارتسكع بشكل مستقل. نظرا لتضارب الأحداث و , سيكون احتمال مجموعها المنطقي مساويًا لـ

بعد هذا التصحيح للحسابات لدينا

مما يؤكد بشكل غير مباشر صحة الاحتمالات التي تم العثور عليها.

ملحوظة : انتبه بشكل خاص للاختلاف في صياغة الأحداث مثل "فقطأول من العناصر المدرجة يجب ... "و" فقطواحد من العناصر المدرجةيجب أن ... ". من الواضح أن الحدث الأخير أوسع ويشملتيفي تكوينه الأول باعتباره واحدًا من (ربما العديدخ) الخيارات. يجب أن تؤخذ هذه البدائل (حتى لو تطابقت احتمالاتها) في الاعتبار بشكل مستقل عن بعضها البعض.

ص ملاحظة : كلمة "النسبة المئوية" تأتي من "لكل سنت"، بمعنى آخر."مائة". يتيح لك تمثيل الترددات والاحتمالات كنسبة مئوية العمل بقيم أكبر ، مما يبسط أحيانًا إدراك القيم "حسب الأذن". ومع ذلك ، فإن استخدام الضرب أو القسمة على "100٪" في العمليات الحسابية للتطبيع الصحيح أمر مرهق وغير فعال. في هذا الصدد ، لاتجنب استخدام القيم بذكركنسبة مئوية ، استبدلها في التعبيرات المحسوبة لـأو ككسور من وحدة (على سبيل المثال ، يتم كتابة 35٪ في الحسابi كـ "0.35") لتقليل مخاطر التطبيع الخاطئ للنتائج.

مثال 3 : مجموعة المقاوم تحتوي على المقاوم نالقيمة الاسمية 4 كيلو أوم ، ثلاثة مقاومات 8 كيلو أوم وستة مقاوماتأوروف بمقاومة 15 كيلو أوم. ثلاث مقاومات تم اختيارها عشوائياً متصلة بالتوازي. أوجد احتمال الحصول على مقاومة نهائية لا تتجاوز 4 كيلو أوم.

ريش أيون. مقاومة الاتصال الموازييمكن حساب التواريخ من خلال الصيغة

.

هذا يسمح لك بالنظر في أحداث مثل

أ= "تم تحديد ثلاثة مقاومات 15 كيلو أوم" = "
”;

ب= "فيمقاومتان بقدرة 15 كيلو أوم وواحد بمقاومةم 8 كيلو أوم "="
”…

تتضمن المجموعة الكاملة للأحداث المقابلة لشرط المشكلة عددًا من الخيارات ، وهي بالتحديد تلك الخياراتوالتي تتوافق مع المتطلبات المتقدمة للحصول على مقاومة لا تزيد عن 4 كيلو أوم. ومع ذلك ، على الرغم من أن مسار الحل "المباشر" ، بما في ذلك الحساب (والجمع اللاحقج) الاحتمالات التي تميز كل هذه الأحداث ، وهي صحيحة ، لا ينصح بالتصرف بهذه الطريقة.

علما أنه من أجل الحصول على مقاومة نهائية أقل من 4 كيلو أوم ديبقى أن المجموعة المستخدمة تتضمن مقاومًا واحدًا على الأقل بمقاومةأكل أقل من 15 كيلو أوم. وهكذا ، فقط في القضيةألم يتم استيفاء متطلبات المهمة ، أي حدثأهوعكس بحث. ومع ذلك،

.

في هذا الطريق، .

ص ري القذف : حساب احتمال وقوع حدث ماأ، لا تنسَ تحليل مدى تعقيد التحديدأنا احتمالات حدث معاكس لها. إذا راسليقرأ
من السهل ، إذن يجب أن نبدأ بهذا.مهام اخرىوإتمامها بتطبيق العلاقة (2 .0).

ص المثال 4 : هناكنأبيض،مالرمل الاسودككرات حمراء. يتم سحب الكرات واحدة تلو الأخرى من الصندوق.وعاد بعد كل قلع. تحديد الاحتماليةالتطوراتأ= "كرة بيضاءسيتم استخراجه قبل الأسود” .

ريش أيون. ضع في اعتبارك مجموعة الأحداث التالية

= "الكرة البيضاء أزيلت في المحاولة الأولى" ؛

= "تم إخراج كرة حمراء أولاً ، ثم كرة بيضاء" ؛

= "تم إخراج كرة حمراء مرتين ، وكرة بيضاء في المرة الثالثة”…

لذلكعندما تعود الكرات ، ثم تسلسل الأحداثytiy يمكن تمديدها رسميًا بشكل لا نهائي.

هذه الأحداث غير متوافقة وتشكل معًا مجموعة المواقف التي يقع فيها الحدث.أ. في هذا الطريق،

من السهل أن نرى أن المصطلحات المدرجة في نموذج المجموعالمتوالية الهندسية مع العنصر الأولي
والمقام
. لكن المبالغوعناصر التقدم الهندسي اللانهائي يساوي

في هذا الطريق، . إلومن الغريب أن يكون هذا الاحتمال (على النحو التالي من المتحصل عليهالتعبير) لا يعتمد على عدد الكرات الحمراء في الصندوق.

في الاقتصاد ، وكذلك في مجالات أخرى من النشاط البشري أو في الطبيعة ، علينا باستمرار التعامل مع الأحداث التي لا يمكن التنبؤ بها بدقة. وبالتالي ، فإن حجم مبيعات البضائع يعتمد على الطلب ، والذي يمكن أن يختلف بشكل كبير ، وعلى عدد من العوامل الأخرى التي يكاد يكون من المستحيل أخذها في الاعتبار. لذلك ، عند تنظيم الإنتاج والمبيعات ، يتعين على المرء أن يتنبأ بنتيجة هذه الأنشطة على أساس الخبرة السابقة للفرد ، أو الخبرة المماثلة لأشخاص آخرين ، أو الحدس ، والذي يعتمد أيضًا إلى حد كبير على البيانات التجريبية.

لتقييم الحدث قيد النظر بطريقة أو بأخرى ، من الضروري مراعاة الظروف التي يتم فيها تسجيل هذا الحدث أو تنظيمها بشكل خاص.

يسمى تنفيذ شروط أو إجراءات معينة لتحديد الحدث المعني خبرةأو تجربة - قام بتجارب.

يسمى الحدث عشوائيإذا ، نتيجة للتجربة ، قد يحدث أو لا يحدث.

يسمى الحدث أصلي، إذا ظهر بالضرورة نتيجة لهذه التجربة ، و غير ممكنإذا لم تظهر في هذه التجربة.

على سبيل المثال ، يعتبر تساقط الثلوج في موسكو يوم 30 نوفمبر حدثًا عشوائيًا. يمكن اعتبار شروق الشمس اليومي حدثًا معينًا. يمكن اعتبار تساقط الثلوج عند خط الاستواء حدثًا مستحيلًا.

واحدة من المشاكل الرئيسية في نظرية الاحتمالات هي مشكلة تحديد مقياس كمي لاحتمال وقوع حدث ما.

جبر الأحداث

تسمى الأحداث غير متوافقة إذا كان لا يمكن ملاحظتها معًا في نفس التجربة. وبالتالي ، فإن وجود سيارتين وثلاث سيارات في متجر واحد للبيع في نفس الوقت حدثان غير متوافقين.

مجموعالأحداث هي حدث يتكون من وقوع واحد على الأقل من هذه الأحداث

مثال على مجموع الأحداث هو وجود منتج واحد على الأقل من منتجين في متجر.

الشغلتسمى الأحداث حدثًا يتألف من حدوث متزامن لكل هذه الأحداث

الحدث الذي يتكون من ظهور سلعتين في نفس الوقت في المتجر هو نتاج أحداث: - ظهور منتج واحد ، - ظهور منتج آخر.

تشكل الأحداث مجموعة كاملة من الأحداث إذا حدث واحد منها على الأقل بالضرورة في التجربة.

مثال.يوجد بالميناء رصيفان للسفن. يمكن اعتبار ثلاثة أحداث: - عدم وجود سفن في الأرصفة ، - وجود سفينة واحدة في أحد الرصيف ، - وجود سفينتين على رصيفين. هذه الأحداث الثلاثة تشكل مجموعة كاملة من الأحداث.

عكسيتم استدعاء حدثين محتملين فريدين يشكلان مجموعة كاملة.

إذا تم الإشارة إلى أحد الأحداث المعاكسة بواسطة ، فعادة ما يتم الإشارة إلى الحدث المعاكس بواسطة.

التعاريف الكلاسيكية والإحصائية لاحتمال وقوع حدث

تسمى كل نتيجة من نتائج الاختبار (التجارب) الممكنة بشكل متساوٍ بالنتيجة الأولية. عادة ما يتم الإشارة إليها بالحروف. على سبيل المثال ، يتم إلقاء النرد. يمكن أن يكون هناك ست نتائج أولية وفقًا لعدد النقاط على الجانبين.

من النتائج الأولية ، يمكنك إنشاء حدث أكثر تعقيدًا. لذلك ، يتم تحديد حدث عدد زوجي من النقاط من خلال ثلاث نتائج: 2 ، 4 ، 6.

مقياس كمي لإمكانية حدوث الحدث قيد النظر هو الاحتمال.

يتم استخدام تعريفين لاحتمال حدث على نطاق واسع: كلاسيكيو إحصائية.

يرتبط التعريف الكلاسيكي للاحتمال بمفهوم النتيجة الإيجابية.

يسمى النزوح ملائمهذا الحدث ، إذا كان وقوعه يستلزم وقوع هذا الحدث.

في المثال الموضح ، الحدث قيد النظر هو عدد زوجي من النقاط على الحافة المسقطة ، وله ثلاث نتائج إيجابية. في هذه الحالة العامة
عدد النتائج المحتملة. لذلك ، يمكنك هنا استخدام التعريف الكلاسيكي لاحتمال وقوع حدث.

التعريف الكلاسيكييساوي نسبة عدد النتائج المفضلة إلى إجمالي عدد النتائج المحتملة

أين هو احتمال الحدث ، هو عدد النتائج المفضلة للحدث ، هو العدد الإجمالي للنتائج المحتملة.

في المثال المدروس

يرتبط التعريف الإحصائي للاحتمال بمفهوم التكرار النسبي لحدوث حدث في التجارب.

يتم حساب التكرار النسبي لحدوث حدث من خلال الصيغة

أين هو عدد حدوث حدث في سلسلة من التجارب (الاختبارات).

التعريف الإحصائي. احتمالية وقوع حدث ما هي الرقم المتعلق باستقرار (تأسيس) التردد النسبي مع زيادة غير محدودة في عدد التجارب.

في المشكلات العملية ، يتم أخذ التردد النسبي لعدد كبير بما فيه الكفاية من التجارب على أنه احتمال وقوع حدث.

من هذه التعريفات لاحتمالية حدث ما ، يمكن ملاحظة أن المتباينة ثابتة دائمًا

لتحديد احتمالية حدث بناءً على الصيغة (1.1) ، غالبًا ما تُستخدم الصيغ التوافقية لإيجاد عدد النتائج المفضلة والعدد الإجمالي للنتائج المحتملة.

الموضوع 1 . الصيغة الكلاسيكية لحساب الاحتمال.

التعريفات والصيغ الأساسية:

يتم استدعاء التجربة التي لا يمكن التنبؤ بنتائجها تجربة عشوائية(SE).

يسمى الحدث الذي قد يحدث أو لا يحدث في SE معين حدث عشوائي.

النتائج الأوليةتسمية الأحداث التي تلبي المتطلبات:

1. مع أي تنفيذ SE ، تحدث نتيجة أولية واحدة فقط ؛

2. كل حدث هو مزيج من بعض مجموعة من النتائج الأولية.

تصف مجموعة جميع النتائج الأولية الممكنة SE تمامًا. هذه المجموعة تسمى مساحة النتائج الأولية(جزيرة الأمير إدوارد). يعد اختيار SEI لوصف SC هذا أمرًا غامضًا ويعتمد على المشكلة التي يتم حلها.

P (A) \ u003d n (A) / n ،

حيث n هو العدد الإجمالي للنتائج الممكنة على قدم المساواة ،

n (A) - عدد النتائج التي يتكون منها الحدث A ، كما يقولون ، لصالح الحدث A.

الكلمات "عشوائياً" ، "عشوائياً" ، "عشوائياً" فقط تضمن الاحتمال المتساوي للنتائج الأولية.

حل أمثلة نموذجية

مثال 1 من جرة تحتوي على 5 كرات حمراء و 3 سوداء و 2 بيضاء ، يتم سحب 3 كرات بشكل عشوائي. أوجد احتمالات الأحداث:

لكن- "كل الكرات المسحوبة حمراء" ؛

في- "جميع الكرات المسحوبة من نفس اللون" ؛

من- "من بين السود بالضبط 2 المستخرج".

المحلول:

النتيجة الأولية لهذا SE هي ثلاثية (غير مرتبة!) من الكرات. لذلك ، فإن العدد الإجمالي للنتائج هو عدد التركيبات: n == 120 (10 = 5 + 3 + 2).

هدف لكنيتكون فقط من تلك الثلاثيات التي تم سحبها من خمس كرات حمراء ، أي ن (أ) == 10.

حدث فيبالإضافة إلى 10 توائم حمراء ، يفضل أيضًا ثلاثة توائم سوداء ، وعددها = 1. لذلك: n (B) = 10 + 1 = 11.

حدث منيفضل تلك الكرات الثلاثية التي تحتوي على 2 كرات سوداء وواحدة غير سوداء. يمكن دمج كل طريقة لاختيار كرتين أسودتين مع اختيار واحدة غير سوداء (من بين سبعة). لذلك: n (C) == 3 * 7 = 21.

وبالتالي: ف (أ) = 10/120; ف (ب) = 11/120; ملاحظة) = 21/120.

مثال 2 في ظروف المشكلة السابقة ، سنفترض أن كرات كل لون لها ترقيمها الخاص ، بدءًا من 1. أوجد احتمالات الأحداث:

د- "الحد الأقصى للرقم المسترجع هو 4" ؛

ه- "الحد الأقصى للعدد المستخرج هو 3".

المحلول:

لحساب n (D) ، يمكننا أن نفترض أن الجرة تحتوي على كرة واحدة برقم 4 ، وكرة واحدة برقم أكبر ، و 8 كرات (3k + 3ch + 2b) بأرقام أصغر. حدث ديتم تفضيل تلك الكرات الثلاثية التي تحتوي بالضرورة على كرة بها رقم 4 و 2 من الكرات ذات الأرقام الأقل. لذلك: n (D) =

الفوسفور (د) = 28/120.

لحساب n (E) نعتبر: في الجرة كرتان برقم 3 ، اثنتان بأرقام أكبر وست كرات بأرقام أصغر (2k + 2ch + 2b). هدف هيتكون من نوعين من ثلاثة توائم:

1. كرة واحدة برقم 3 واثنان بأرقام أصغر ؛

2. كرتان برقم 3 وواحدة برقم أقل.

لذلك: n (E) =

الفوسفور (E) = 36/120.

مثال 3 يتم إلقاء كل جزيء من الجسيمات M المختلفة عشوائيًا في إحدى الخلايا N. أوجد احتمالات الأحداث:

لكن- سقطت جميع الجسيمات في الخلية الثانية ؛

في- سقطت جميع الجسيمات في خلية واحدة ؛

من- لا تحتوي كل خلية على أكثر من جسيم واحد (M £ N) ؛

د- جميع الخلايا مشغولة (M = N +1) ؛

ه- تحتوي الخلية الثانية بالضبط ل حبيبات.

المحلول:

لكل جسيم ، توجد طرق N للوصول إلى خلية معينة. وفقًا للمبدأ الأساسي للتوافقية للجسيمات M ، لدينا N * N * N * ... * N (مرات M). إذن ، العدد الإجمالي للنتائج في SE هذا هو n = N M.

لكل جسيم ، لدينا فرصة واحدة للوصول إلى الخلية الثانية ، وبالتالي n (A) = 1 * 1 * ... * 1 = 1 M = 1 ، و P (A) = 1 / N M.

للدخول في خلية واحدة (لكل الجسيمات) يعني إدخال الكل في الأولى ، أو الكل في الثانية ، أو ما إلى ذلك. كل شيء في شمال ال. ولكن يمكن تنفيذ كل خيار من خيارات N هذه بطريقة واحدة. لذلك n (B) = 1 + 1 +… + 1 (N مرة) = N و Р (В) = N / N M.

يعني الحدث C أن كل جسيم لديه عدد من طرق التنسيب أقل من الجسيم السابق ، ويمكن أن يسقط الأول في أي من الخلايا N. لهذا السبب:

n (C) \ u003d N * (N -1) * ... * (N + M -1) و P (C) \ u003d

في حالة خاصة لـ M = N: Р (С) =

يعني الحدث D أن إحدى الخلايا تحتوي على جسيمين ، وتحتوي كل خلية من الخلايا المتبقية (N -1) على جسيم واحد. للعثور على n (D) نجادل على النحو التالي: نختار خلية يكون فيها جسيمان ، ويمكن القيام بذلك بطرق = N ؛ ثم نختار جسيمين لهذه الخلية ، وهناك طرق للقيام بذلك. بعد ذلك يتم توزيع الجسيمات المتبقية (N -1) واحدة تلو الأخرى في الخلايا (N -1) المتبقية ، لذلك هناك (N -1)! طرق.

إذن n (D) =

.

يمكن حساب الرقم n (E) على النحو التالي: ل يمكن عمل جزيئات الخلية الثانية بطرق ، يتم توزيع الجسيمات المتبقية (M - K) بشكل عشوائي على الخلية (N -1) (N -1) بطرق M-K. لهذا السبب:

"العشوائية ليست عرضية" ... يبدو الأمر كما قال الفيلسوف ، لكن في الحقيقة ، دراسة الحوادث هي قدر علم الرياضيات العظيم. في الرياضيات ، الصدفة هي نظرية الاحتمال. سيتم تقديم الصيغ وأمثلة المهام ، بالإضافة إلى التعريفات الرئيسية لهذا العلم في المقالة.

ما هي نظرية الاحتمالية؟

نظرية الاحتمالية هي إحدى التخصصات الرياضية التي تدرس الأحداث العشوائية.

لجعل الأمر أكثر وضوحًا ، دعنا نعطي مثالًا صغيرًا: إذا رميت عملة معدنية ، يمكن أن تسقط رأسًا أو ذيلًا. طالما أن العملة المعدنية في الهواء ، فإن هذين الاحتمالين ممكنان. أي أن احتمال العواقب المحتملة يرتبط 1: 1. إذا تم سحب أحد الأوراق من مجموعة بها 36 بطاقة ، فسيتم الإشارة إلى الاحتمال على أنه 1:36. يبدو أنه لا يوجد شيء لاستكشافه والتنبؤ به ، خاصة بمساعدة الصيغ الرياضية. ومع ذلك ، إذا كررت إجراءً معينًا عدة مرات ، فيمكنك تحديد نمط معين ، وعلى أساسه ، التنبؤ بنتيجة الأحداث في ظروف أخرى.

لتلخيص كل ما سبق ، تدرس نظرية الاحتمال بالمعنى الكلاسيكي إمكانية حدوث أحد الأحداث المحتملة بالمعنى العددي.

من صفحات التاريخ

ظهرت نظرية الاحتمالات والصيغ وأمثلة المهام الأولى في العصور الوسطى البعيدة ، عندما ظهرت محاولات التنبؤ بنتيجة ألعاب الورق لأول مرة.

في البداية ، لم يكن لنظرية الاحتمال أي علاقة بالرياضيات. تم تبريره من خلال حقائق أو خصائص تجريبية لحدث يمكن إعادة إنتاجه في الممارسة العملية. ظهرت الأعمال الأولى في هذا المجال كنظام رياضي في القرن السابع عشر. المؤسسان هما بليز باسكال وبيير فيرمات. درسوا المقامرة لفترة طويلة وشاهدوا أنماطًا معينة قرروا إخبار الجمهور عنها.

اخترع Christian Huygens نفس التقنية ، على الرغم من أنه لم يكن على دراية بنتائج بحث Pascal و Fermat. قدم مفهوم "نظرية الاحتمالات" ، والصيغ والأمثلة ، والتي تعتبر الأولى في تاريخ الانضباط ، من قبله.

لا تقل أهمية عن أعمال جاكوب برنولي ونظريات لابلاس وبواسون. لقد جعلوا نظرية الاحتمالات أشبه بمجال رياضي. حصلت نظرية الاحتمالات والصيغ وأمثلة المهام الأساسية على شكلها الحالي بفضل بديهيات كولموغوروف. نتيجة لجميع التغييرات ، أصبحت نظرية الاحتمال أحد الفروع الرياضية.

المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات. التطورات

المفهوم الرئيسي لهذا الانضباط هو "الحدث". الأحداث من ثلاثة أنواع:

• موثوق.تلك التي ستحدث على أي حال (ستسقط العملة المعدنية).
• غير ممكن.الأحداث التي لن تحدث في أي سيناريو (ستبقى العملة المعدنية معلقة في الهواء).
• عشوائي.تلك التي ستحدث أو لن تحدث. يمكن أن تتأثر بعوامل مختلفة يصعب للغاية التنبؤ بها. إذا تحدثنا عن عملة معدنية ، فإن العوامل العشوائية التي يمكن أن تؤثر على النتيجة: الخصائص الفيزيائية للعملة ، وشكلها ، والموقع الأولي ، وقوة الرمي ، إلخ.

يتم الإشارة إلى جميع الأحداث في الأمثلة بأحرف لاتينية كبيرة ، باستثناء R ، والتي لها دور مختلف. علي سبيل المثال:

• أ = "حضر الطلاب إلى المحاضرة".
• Ā = "الطلاب لم يحضروا المحاضرة".

في المهام العملية ، عادة ما يتم تسجيل الأحداث بالكلمات.

واحدة من أهم خصائص الأحداث هي احتمالية متساوية. بمعنى ، إذا رميت عملة معدنية ، فإن جميع المتغيرات من السقوط الأولي ممكنة حتى تسقط. لكن الأحداث أيضًا ليست محتملة بنفس القدر. يحدث هذا عندما يؤثر شخص ما عمدا على النتيجة. على سبيل المثال ، أوراق اللعب "المميزة" أو النرد ، حيث يتحول مركز الثقل.

الأحداث متوافقة أيضًا وغير متوافقة. لا تستبعد الأحداث المتوافقة حدوث بعضها البعض. علي سبيل المثال:

• أ = "أتى الطالب إلى المحاضرة".
• ب = "أتى الطالب إلى المحاضرة".

هذه الأحداث مستقلة عن بعضها البعض ، وظهور أحدهما لا يؤثر على مظهر الآخر. يتم تعريف الأحداث غير المتوافقة من خلال حقيقة أن حدوث أحدهما يمنع حدوث الآخر. إذا تحدثنا عن نفس العملة ، فإن فقدان "ذيول" يجعل من المستحيل ظهور "رؤوس" في نفس التجربة.

الإجراءات على الأحداث

يمكن مضاعفة الأحداث وإضافتها ، على التوالي ، يتم تقديم الوصلات المنطقية "AND" و "OR" في النظام.

يتم تحديد المبلغ من خلال حقيقة أن أي من الحدثين أ ، أو ب ، أو كلاهما يمكن أن يحدث في نفس الوقت. في حالة عدم التوافق ، يكون الخيار الأخير مستحيلًا ، إما أن A أو B سينسحبان.

يتكون تكاثر الأحداث من ظهور A و B في نفس الوقت.

يمكنك الآن إعطاء بعض الأمثلة لتتذكر الأساسيات ونظرية الاحتمالات والصيغ بشكل أفضل. أمثلة على حل المشكلة أدناه.

التمرين 1: تقدم الشركة عطاءات للحصول على عقود لثلاثة أنواع من الأعمال. الأحداث المحتملة التي قد تحدث:

• A = "ستحصل الشركة على العقد الأول".
• أ 1 = "لن تحصل الشركة على العقد الأول."
• B = "ستتلقى الشركة عقدًا ثانيًا".
• B 1 = "لن تحصل الشركة على عقد ثانٍ"
• C = "ستحصل الشركة على عقد ثالث."
• C 1 = "لن تحصل الشركة على عقد ثالث."

دعنا نحاول التعبير عن المواقف التالية باستخدام إجراءات على الأحداث:

• K = "ستتلقى الشركة جميع العقود."

في الشكل الرياضي ، ستبدو المعادلة كما يلي: K = ABC.

• م = "لن تحصل الشركة على عقد واحد."

م = أ 1 ب 1 ج 1.

نقوم بتعقيد المهمة: H = "ستتلقى الشركة عقدًا واحدًا." نظرًا لأنه من غير المعروف أي عقد ستحصل عليه الشركة (الأول أو الثاني أو الثالث) ، فمن الضروري تسجيل النطاق الكامل للأحداث المحتملة:

H \ u003d A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

و 1 BC 1 عبارة عن سلسلة من الأحداث حيث لا تتلقى الشركة العقد الأول والثالث ، ولكنها تتلقى العقد الثاني. يتم أيضًا تسجيل الأحداث المحتملة الأخرى بالطريقة المقابلة. يشير الرمز υ في النظام إلى مجموعة من "OR". إذا قمنا بترجمة المثال أعلاه إلى لغة بشرية ، فستتلقى الشركة إما العقد الثالث أو الثاني أو الأول. وبالمثل ، يمكنك كتابة شروط أخرى في "نظرية الاحتمالات". ستساعدك الصيغ وأمثلة حل المشكلات المعروضة أعلاه على القيام بذلك بنفسك.

في الواقع ، الاحتمال

ربما ، في هذا الانضباط الرياضي ، فإن احتمال وقوع حدث ما هو مفهوم مركزي. هناك 3 تعريفات للاحتمال:

• كلاسيكي؛
• إحصائية.
• هندسي.

لكل منها مكانه في دراسة الاحتمالات. تستخدم نظرية الاحتمالية والصيغ والأمثلة (الصف 9) في الغالب التعريف الكلاسيكي ، والذي يبدو كالتالي:

• احتمال الموقف أ يساوي نسبة عدد النتائج التي تفضل حدوثها إلى عدد جميع النتائج الممكنة.

تبدو الصيغة كما يلي: P (A) \ u003d m / n.

وفي الواقع ، حدث. إذا حدث عكس A ، فيمكن كتابته كـ Ā أو A 1.

م هو عدد الحالات المؤاتية المحتملة.

ن - كل الأحداث التي يمكن أن تحدث.

على سبيل المثال ، A \ u003d "اسحب بطاقة بدلة القلب". توجد 36 بطاقة في مجموعة أوراق اللعب القياسية ، 9 منها من بطاقات القلوب. وفقًا لذلك ، ستبدو صيغة حل المشكلة كما يلي:

الفوسفور (أ) = 9/36 = 0.25.

نتيجة لذلك ، فإن احتمال سحب بطاقة مناسبة للقلب من سطح السفينة سيكون 0.25.

للرياضيات العليا

الآن أصبح من المعروف قليلاً ما هي نظرية الاحتمال والصيغ وأمثلة لحل المهام التي تظهر في المناهج الدراسية. ومع ذلك ، فإن نظرية الاحتمال موجودة أيضًا في الرياضيات العليا ، والتي يتم تدريسها في الجامعات. في أغلب الأحيان ، يعملون بتعريفات هندسية وإحصائية للنظرية والصيغ المعقدة.

نظرية الاحتمال مثيرة جدا للاهتمام. الصيغ والأمثلة (الرياضيات العليا) من الأفضل أن تبدأ التعلم من واحدة صغيرة - من تعريف إحصائي (أو تكراري) للاحتمال.

لا يتعارض النهج الإحصائي مع النهج الكلاسيكي ، ولكنه يوسعه قليلاً. إذا كان من الضروري في الحالة الأولى تحديد درجة احتمالية حدوث حدث ما ، فمن الضروري في هذه الطريقة الإشارة إلى عدد مرات حدوثه. هنا يتم تقديم مفهوم جديد لـ "التردد النسبي" ، والذي يمكن الإشارة إليه بواسطة W n (A). الصيغة لا تختلف عن الكلاسيكية:

إذا تم حساب الصيغة الكلاسيكية للتنبؤ ، فسيتم حساب المعادلة الإحصائية وفقًا لنتائج التجربة. خذ على سبيل المثال مهمة صغيرة.

يقوم قسم الرقابة التكنولوجية بفحص المنتجات للتأكد من جودتها. من بين 100 منتج ، تم العثور على 3 منتجات ذات جودة رديئة. كيف تجد احتمالية التردد لمنتج عالي الجودة؟

أ = "مظهر منتج عالي الجودة."

W ن (أ) = 97/100 = 0.97

وبالتالي ، فإن معدل تكرار جودة المنتج هو 0.97. من أين حصلت على 97 من؟ من بين 100 منتج تم فحصها ، تبين أن 3 منتجات ذات جودة رديئة. نطرح 3 من 100 ، ونحصل على 97 ، وهي كمية منتج عالي الجودة.

قليلا عن التوافقية

طريقة أخرى لنظرية الاحتمالية تسمى التوافقية. مبدأها الأساسي هو أنه إذا كان من الممكن إجراء اختيار معين A بطرق مختلفة ، والاختيار B بطرق مختلفة n ، فيمكن عندئذٍ اختيار A و B عن طريق الضرب.

على سبيل المثال ، هناك 5 طرق من المدينة "أ" إلى المدينة "ب". هناك 4 طرق من المدينة "ب" إلى المدينة "ج". كم عدد الطرق المتاحة للانتقال من المدينة "أ" إلى المدينة "ج"؟

الأمر بسيط: 5 × 4 = 20 ، أي أن هناك عشرين طريقة مختلفة للانتقال من النقطة أ إلى النقطة ج.

لنجعل المهمة أكثر صعوبة. كم عدد الطرق المتاحة للعب الورق في لعبة سوليتير؟ في مجموعة من 36 بطاقة ، هذه هي نقطة البداية. لمعرفة عدد الطرق ، تحتاج إلى "طرح" بطاقة واحدة من نقطة البداية وضربها.

أي 36 × 35 × 34 × 33 × 32 ... × 2 × 1 = النتيجة لا تتناسب مع شاشة الآلة الحاسبة ، لذلك يمكن ببساطة الإشارة إليها على أنها 36 !. إشارة "!" بجانب الرقم يشير إلى أن سلسلة الأرقام بأكملها مضروبة فيما بينها.

في التوافقية ، هناك مفاهيم مثل التقليب والتنسيب والجمع. كل واحد منهم لديه صيغته الخاصة.

تسمى المجموعة المرتبة من عناصر المجموعة التخطيط. يمكن أن تكون المواضع متكررة ، مما يعني أنه يمكن استخدام عنصر واحد عدة مرات. وبدون تكرار عندما لا تتكرر العناصر. ن هو كل العناصر ، م هو العناصر التي تشارك في التنسيب. ستبدو صيغة التنسيب بدون التكرار كما يلي:

أ ن م = ن! / (س م)!

تسمى اتصالات العناصر n التي تختلف فقط في ترتيب الموضع بالتباديل. في الرياضيات ، يبدو هذا كالتالي: P n = n!

مجموعات n من العناصر بواسطة m هي مثل هذه المركبات التي من المهم فيها العناصر التي كانت فيها وما هو عددها الإجمالي. ستبدو الصيغة كما يلي:

أ ن م = ن! / م! (س م)!

صيغة برنولي

في نظرية الاحتمالات ، وكذلك في كل تخصص ، هناك أعمال لباحثين بارزين في مجالهم ارتقوا بها إلى مستوى جديد. إحدى هذه الأعمال هي صيغة برنولي ، والتي تسمح لك بتحديد احتمالية وقوع حدث معين في ظل ظروف مستقلة. يشير هذا إلى أن ظهور "أ" في التجربة لا يعتمد على ظهور أو عدم حدوث نفس الحدث في الاختبارات السابقة أو اللاحقة.

معادلة برنولي:

الفوسفور n (م) = ج ن م × ف م × ف ن م.

الاحتمال (ع) لحدوث الحدث (أ) لم يتغير لكل تجربة. احتمالية حدوث الموقف بالضبط m مرات في عدد n من التجارب سيتم حسابها بواسطة الصيغة المعروضة أعلاه. وفقًا لذلك ، فإن السؤال الذي يطرح نفسه هو كيفية معرفة الرقم q.

إذا حدث الحدث "أ" عدد المرات ، فقد لا يحدث وفقًا لذلك. الوحدة هي رقم يستخدم لتعيين جميع نتائج الموقف في تخصص ما. لذلك ، q هو رقم يشير إلى احتمال عدم وقوع الحدث.

أنت الآن تعرف معادلة برنولي (نظرية الاحتمالات). سيتم النظر في أمثلة حل المشكلات (المستوى الأول) أدناه.

المهمة 2:سيقوم زائر المتجر بإجراء عملية شراء مع احتمال 0.2. دخل 6 زوار المتجر بشكل مستقل. ما هو احتمال قيام الزائر بعملية شراء؟

الحل: نظرًا لعدم معرفة عدد الزائرين الذين يجب عليهم إجراء عملية شراء ، واحدًا أو ستة ، فمن الضروري حساب جميع الاحتمالات الممكنة باستخدام معادلة برنولي.

A = "الزائر سيجري عملية شراء."

في هذه الحالة: p = 0.2 (كما هو موضح في المهمة). وفقًا لذلك ، q = 1-0.2 = 0.8.

ن = 6 (لأن هناك 6 عملاء في المتجر). سيتغير الرقم م من 0 (لن يقوم أي عميل بالشراء) إلى 6 (سيشتري جميع زوار المتجر شيئًا ما). نتيجة لذلك ، حصلنا على الحل:

الفسفور 6 (0) \ u003d C 0 6 × ف 0 × ف 6 \ u003d ف 6 \ u003d (0.8) 6 \ u003d 0.2621.

لن يقوم أي من المشترين بعملية شراء مع احتمال 0.2621.

كيف يتم استخدام صيغة برنولي (نظرية الاحتمالات)؟ أمثلة على حل المشكلات (المستوى الثاني) أدناه.

بعد المثال أعلاه ، تظهر أسئلة حول المكان الذي ذهب إليه C و p. بالنسبة إلى p ، فإن الرقم مرفوعًا للقوة الأسية 0 يساوي واحدًا. بالنسبة إلى C ، يمكن العثور عليها بالصيغة:

ج ن م = ن! / م! (ن م)!

منذ المثال الأول م = 0 ، على التوالي ، C = 1 ، والتي من حيث المبدأ لا تؤثر على النتيجة. باستخدام الصيغة الجديدة ، دعنا نحاول معرفة ما هو احتمال شراء بضائع من قبل زائرين اثنين.

الفسفور 6 (2) = ج 6 2 × ص 2 × ف 4 = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0.2) 2 × ( 0.8) 4 = 15 × 0.04 × 0.4096 = 0.246.

نظرية الاحتمال ليست معقدة للغاية. معادلة برنولي ، الأمثلة المذكورة أعلاه ، هي دليل مباشر على ذلك.

صيغة بواسون

تُستخدم معادلة بواسون لحساب المواقف العشوائية غير المحتملة.

الصيغة الأساسية:

الفوسفور ن (م) = λ م / م! × ه (-λ).

في هذه الحالة ، λ = n x p. ها هي صيغة بواسون البسيطة (نظرية الاحتمالية). سيتم النظر في أمثلة حل المشكلات أدناه.

المهمة 3ج: أنتج المصنع 100000 قطعة. ظهور الجزء المعيب = 0.0001. ما هو احتمال وجود 5 أجزاء معيبة في الدفعة؟

كما ترى ، الزواج هو حدث غير محتمل ، وبالتالي فإن صيغة بواسون (نظرية الاحتمالات) تستخدم في الحساب. لا تختلف أمثلة حل المشكلات من هذا النوع عن المهام الأخرى في التخصص ، فنحن نستبدل البيانات الضرورية في الصيغة أعلاه:

A = "سيكون الجزء المختار عشوائيًا معيبًا."

p = 0.0001 (وفقًا لشرط التعيين).

ن = 100000 (عدد الأجزاء).

م = 5 (الأجزاء المعيبة). نستبدل البيانات في الصيغة ونحصل على:

100000 (5) = 10 5/5! X e -10 = 0.0375.

تمامًا مثل معادلة برنولي (نظرية الاحتمالات) ، أمثلة للحلول التي تمت كتابتها أعلاه ، تحتوي معادلة بواسون على حرف e غير معروف.

e-= lim n -> ∞ (1-λ / n) n.

ومع ذلك ، توجد جداول خاصة تحتوي تقريبًا على جميع قيم e.

نظرية دي Moivre-Laplace

إذا كان عدد المحاكمات في مخطط برنولي كبيرًا بدرجة كافية ، وكان احتمال حدوث الحدث A في جميع المخططات هو نفسه ، فعندئذٍ يمكن العثور على احتمال حدوث الحدث A عددًا معينًا من المرات في سلسلة من التجارب عن طريق صيغة لابلاس:

Р ن (م) = 1 / √npq × ϕ (X م).

Xm = m-np / npq.

لتذكر صيغة لابلاس بشكل أفضل (نظرية الاحتمالات) ، أمثلة على المهام للمساعدة أدناه.

في البداية نجد X m ، نعوض بالبيانات (جميعها موضحة أعلاه) في الصيغة ونحصل على 0.025. باستخدام الجداول ، نجد الرقم ϕ (0.025) وقيمته 0.3988. يمكنك الآن استبدال جميع البيانات الموجودة في الصيغة:

P 800 (267) \ u003d 1 / √ (800 × 1/3 × 2/3) × 0.3988 \ u003d 3/40 × 0.3988 \ u003d 0.03.

لذا فإن احتمال أن تصل النشرة إلى 267 مرة بالضبط هو 0.03.

صيغة بايز

معادلة بايز (نظرية الاحتمالات) ، أمثلة لحل المهام باستخدامها ، هي معادلة تصف احتمالية وقوع حدث بناءً على الظروف التي يمكن أن ترتبط به. الصيغة الرئيسية هي كما يلي:

الفوسفور (A | B) = P (B | A) x P (A) / P (B).

A و B حدثان محددان.

P (A | B) - الاحتمال الشرطي ، أي ، يمكن أن يحدث الحدث A ، بشرط أن يكون الحدث B صحيحًا.

Р (В | А) - الاحتمال الشرطي للحدث В.

لذا ، فإن الجزء الأخير من الدورة القصيرة "نظرية الاحتمالية" هي معادلة بايز ، أمثلة لحل المشكلات الواردة أدناه.

المهمة 5: تم إحضار هواتف من ثلاث شركات إلى المستودع. في نفس الوقت ، جزء من الهواتف التي يتم تصنيعها في المصنع الأول هو 25٪ ، في الثانية - 60٪ ، في الثالث - 15٪. ومن المعروف أيضًا أن متوسط ​​النسبة المئوية للمنتجات المعيبة في المصنع الأول هو 2٪ ، والثاني - 4٪ ، والثالث - 1٪. من الضروري إيجاد احتمال أن يكون الهاتف المختار عشوائيًا معيبًا.

A = "هاتف مأخوذ عشوائيًا".

ب 1 - الهاتف الذي صنعه المصنع الأول. وفقًا لذلك ، ستظهر المقدمة B 2 و B 3 (للمصنعين الثاني والثالث).

نتيجة لذلك ، نحصل على:

P (B 1) = 25٪ / 100٪ = 0.25 ؛ الفوسفور (ب 2) = 0.6 ؛ P (B 3) = 0.15 - لذلك وجدنا احتمال كل خيار.

أنت الآن بحاجة إلى العثور على الاحتمالات الشرطية للحدث المطلوب ، أي احتمالية المنتجات المعيبة في الشركات:

P (A / B 1) = 2٪ / 100٪ = 0.02 ؛

P (A / B 2) = 0.04 ؛

P (A / B 3) = 0.01.

الآن نستبدل البيانات في صيغة Bayes ونحصل على:

P (A) \ u003d 0.25 × 0.2 + 0.6 × 0.4 + 0.15 × 0.01 \ u003d 0.0305.

تقدم المقالة نظرية الاحتمالية والصيغ وأمثلة حل المشكلات ، ولكن هذا ليس سوى قمة جبل الجليد في مجال واسع. وبعد كل ما كتب ، سيكون من المنطقي طرح السؤال عما إذا كانت نظرية الاحتمال ضرورية في الحياة. يصعب على شخص بسيط الإجابة ، فمن الأفضل أن تطلب المساعدة من شخص فاز بالجائزة الكبرى أكثر من مرة.

ستكون هناك أيضًا مهام لحل مستقل ، يمكنك رؤية الإجابات عليها.

بيان عام للمشكلة: احتمالات بعض الأحداث معروفة ، لكن يجب حساب احتمالات الأحداث الأخرى المرتبطة بهذه الأحداث. في هذه المشاكل ، هناك حاجة لمثل هذه العمليات على الاحتمالات مثل جمع ومضاعفة الاحتمالات.

على سبيل المثال ، تم إطلاق رصاصتين أثناء الصيد. هدف أ- ضرب بطة من الطلقة الأولى ، الحدث ب- ضرب من الطلقة الثانية. ثم مجموع الأحداث أو ب- إصابة من الطلقة الأولى أو الثانية أو من طلقتين.

مهام من نوع مختلف. يتم تقديم العديد من الأحداث ، على سبيل المثال ، تم رمي عملة معدنية ثلاث مرات. من الضروري إيجاد احتمال سقوط شعار النبالة الثلاث مرات ، أو سقوط شعار النبالة مرة واحدة على الأقل. هذه مشكلة الضرب.

إضافة احتمالات الأحداث غير المتوافقة

يتم استخدام إضافة الاحتمالية عندما يكون من الضروري حساب احتمالية توليفة أو مجموع منطقي للأحداث العشوائية.

مجموع الأحداث أو بعين أ + بأو أ ∪ ب. مجموع حدثين هو حدث يقع فقط في حالة حدوث واحد على الأقل من الأحداث. هذا يعني انه أ + ب- حدث يقع فقط في حالة وقوع حدث أثناء المراقبة أأو حدث بأو في نفس الوقت أو ب.

إذا الأحداث أو بغير متسقة بشكل متبادل ويتم إعطاء احتمالاتها ، يتم حساب احتمال حدوث أحد هذه الأحداث نتيجة تجربة واحدة باستخدام إضافة الاحتمالات.

نظرية جمع الاحتمالات.إن احتمال وقوع حدثين غير متوافقين بشكل متبادل يساوي مجموع احتمالات هذه الأحداث:

على سبيل المثال ، تم إطلاق رصاصتين أثناء الصيد. هدف لكن- ضرب بطة من الطلقة الأولى ، الحدث في- ضرب من اللقطة الثانية ، الحدث ( لكن+ في) - إصابة من الطلقة الأولى أو الثانية أو من رصاصتين. حتى إذا حدثان لكنو فيأحداث غير متوافقة ، إذن لكن+ في- وقوع حدث واحد على الأقل أو حدثين.

مثال 1علبة بها 30 كرة من نفس الحجم: 10 حمراء ، 5 زرقاء و 15 بيضاء. احسب احتمال أخذ كرة ملونة (ليست بيضاء) دون النظر.

المحلول. لنفترض أن الحدث لكن- "الكرة الحمراء تؤخذ" ، والحدث في- "الكرة الزرقاء تؤخذ". ثم الحدث "تؤخذ كرة ملونة (ليست بيضاء)". أوجد احتمال وقوع حدث لكن:

والأحداث في:

التطورات لكنو في- غير متوافق بشكل متبادل ، لأنه إذا تم أخذ كرة واحدة ، فلا يمكن أخذ كرات ذات ألوان مختلفة. لذلك ، نستخدم إضافة الاحتمالات:

نظرية إضافة الاحتمالات للعديد من الأحداث غير المتوافقة.إذا كانت الأحداث تشكل المجموعة الكاملة من الأحداث ، فإن مجموع احتمالاتها يساوي 1:

مجموع احتمالات الأحداث المعاكسة يساوي أيضًا 1:

تشكل الأحداث المتقابلة مجموعة كاملة من الأحداث ، واحتمال حدوث مجموعة كاملة من الأحداث هو 1.

عادة ما يتم الإشارة إلى احتمالات الأحداث المعاكسة بأحرف صغيرة. صو ف. خاصه،

والتي تتبع منها الصيغ التالية لاحتمالية الأحداث المعاكسة:

مثال 2الهدف في اندفاعة مقسم إلى 3 مناطق. احتمال أن يقوم مطلق النار بإطلاق النار على هدف في المنطقة الأولى هو 0.15 ، في المنطقة الثانية - 0.23 ، في المنطقة الثالثة - 0.17. أوجد احتمال أن يصيب مطلق النار الهدف واحتمال أن يخطئ الرامي الهدف.

الحل: أوجد احتمال أن يصيب مطلق النار الهدف:

أوجد احتمالية أن مطلق النار أخطأ الهدف:

المهام الأكثر صعوبة التي تحتاج فيها إلى تطبيق كل من جمع ومضاعفة الاحتمالات - في صفحة "مهام مختلفة لجمع ومضاعفة الاحتمالات".

إضافة احتمالات الأحداث المشتركة

يقال أن حدثين عشوائيين يكونان مشتركين إذا كان وقوع حدث واحد لا يمنع وقوع حدث ثان في نفس الملاحظة. على سبيل المثال ، عند رمي النرد ، الحدث لكنيعتبر حدوث العدد 4 والحدث في- إسقاط رقم زوجي. نظرًا لأن الرقم 4 هو رقم زوجي ، فإن الحدثين متوافقان. في الممارسة العملية ، هناك مهام لحساب احتمالات حدوث أحد الأحداث المشتركة.

نظرية إضافة احتمالات الأحداث المشتركة.إن احتمال وقوع أحد الأحداث المشتركة يساوي مجموع احتمالات هذه الأحداث ، والتي يُطرح منها احتمال التكرار الشائع لكلا الحدثين ، أي ناتج الاحتمالات. معادلة احتمالات الأحداث المشتركة هي كما يلي:

لأن الأحداث لكنو فيمتوافق ، حدث لكن+ فييحدث في حالة وقوع أحد الأحداث الثلاثة المحتملة: أو AB. وفقًا لنظرية إضافة الأحداث غير المتوافقة ، نحسب ما يلي:

هدف لكنيقع في حالة حدوث أحد حدثين غير متوافقين: أو AB. ومع ذلك ، فإن احتمال حدوث حدث واحد من عدة أحداث غير متوافقة يساوي مجموع احتمالات كل هذه الأحداث:

بصورة مماثلة:

استبدال التعبيرات (6) و (7) في التعبير (5) ، نحصل على صيغة الاحتمال للأحداث المشتركة:

عند استخدام الصيغة (8) ، يجب مراعاة أن الأحداث لكنو فييمكن ان يكون:

• مستقل بشكل متبادل
• يعتمد بشكل متبادل.

صيغة الاحتمالية للأحداث المستقلة بشكل متبادل:

صيغة الاحتمالية للأحداث التي يعتمد بعضها على بعض:

إذا الأحداث لكنو فيغير متسقة ، فصدفتهم حالة مستحيلة ، وبالتالي ، ص(AB) = 0. صيغة الاحتمال الرابعة للأحداث غير المتوافقة هي كما يلي:

مثال 3في سباق السيارات ، عند القيادة في السيارة الأولى ، احتمالية الفوز ، عند القيادة في السيارة الثانية. لايجاد:

• احتمال فوز كلتا السيارتين ؛
• احتمال فوز سيارة واحدة على الأقل ؛

1) احتمال فوز السيارة الأولى لا يعتمد على نتيجة السيارة الثانية ، وبالتالي فإن الأحداث لكن(تفوز السيارة الأولى) و في(تفوز السيارة الثانية) - أحداث مستقلة. أوجد احتمال فوز كلتا السيارتين:

2) أوجد احتمال فوز إحدى السيارتين:

المهام الأكثر صعوبة التي تحتاج فيها إلى تطبيق كل من جمع ومضاعفة الاحتمالات - في صفحة "مهام مختلفة لجمع ومضاعفة الاحتمالات".

قم بحل مسألة جمع الاحتمالات بنفسك ، ثم انظر إلى الحل

مثال 4تم طرح عملتين. هدف أ- فقدان شعار النبالة على العملة الأولى. هدف ب- فقدان شعار النبالة على العملة الثانية. أوجد احتمال وقوع حدث ج = أ + ب .

الضرب الاحتمالي

يتم استخدام مضاعفة الاحتمالات عندما يتم حساب احتمال منتج منطقي للأحداث.

في هذه الحالة ، يجب أن تكون الأحداث العشوائية مستقلة. يقال إن حدثين مستقلين عن بعضهما البعض إذا كان وقوع حدث واحد لا يؤثر على احتمال وقوع الحدث الثاني.

نظرية الضرب الاحتمالية للأحداث المستقلة.احتمالية الحدوث المتزامن لحدثين مستقلين لكنو فييساوي حاصل ضرب احتمالات هذه الأحداث ويتم حسابه بواسطة الصيغة:

مثال 5تم رمي العملة ثلاث مرات متتالية. أوجد احتمال سقوط شعار النبالة في المرات الثلاث.

المحلول. احتمالية سقوط شعار النبالة عند الرمية الأولى لعملة ، والمرة الثانية ، والمرة الثالثة. أوجد احتمال سقوط شعار النبالة في المرات الثلاث:

قم بحل مسائل ضرب الاحتمالات بنفسك ، ثم انظر إلى الحل

مثال 6يوجد صندوق به تسع كرات تنس جديدة. تؤخذ ثلاث كرات للمباراة ، بعد المباراة يتم إعادتها. عند اختيار الكرات ، فإنها لا تميز بين الكرات التي تم لعبها والكرات التي لم يتم لعبها. ما هو احتمالية عدم وجود كرات لم يتم لعبها في الصندوق بعد ثلاث مباريات؟

مثال 7 32 حرفًا من الأبجدية الروسية مكتوبة على بطاقات أبجدية مقطوعة. يتم رسم خمس بطاقات عشوائيًا ، واحدة تلو الأخرى ، وتوضع على الطاولة بالترتيب الذي تظهر به. أوجد احتمالية أن تشكل الأحرف كلمة "end".

المثال 8من مجموعة كاملة من البطاقات (52 ورقة) ، يتم إخراج أربع بطاقات في وقت واحد. أوجد احتمال أن تكون جميع هذه البطاقات الأربعة من نفس النوع.

المثال 9نفس المشكلة كما في المثال 8 ، ولكن يتم إرجاع كل بطاقة إلى سطح السفينة بعد سحبها.

مهام أكثر تعقيدًا ، حيث تحتاج إلى تطبيق كلٍّ من جمع ومضاعفة الاحتمالات ، وكذلك حساب ناتج العديد من الأحداث ، في صفحة "مهام مختلفة لجمع ومضاعفة الاحتمالات".

يمكن حساب احتمال وقوع حدث واحد على الأقل من الأحداث المستقلة بشكل متبادل عن طريق طرح منتج احتمالات الأحداث المعاكسة من 1 ، أي من خلال الصيغة.