ما هو نتاج المتجه وإذا. ناقلات فنية من المتجهات التي قدمها الإحداثيات
زاوية بين المتجهات
من أجل أن نقدم مفهوم منتج ناقلات متجهتين، يجب عليك أولا معرفة المفهوم باعتباره الزاوية بين هذه المتجهات.
دعونا نعطي اثنين من ناقلات $ \\ Overline (α) $ \\ overline $ (β) $. خذ في الفضاء أي نقطة $ $ $ ونشر OFF من متجاهيا $ \\ overline (α) \u003d \\ overline (OA) $ و $ \\ overline (β) \u003d \\ overline (ob) $، ثم زاوية $ AOB $ زاوية ستكون دعا الزاوية بين هذه المتجهات (الشكل 1).
التعيين: $ ∠ (\\ overline (α)، \\ overline (β)) $
مفهوم العمل الفني المتجه وصيغة
التعريف 1.
يسمى منتج متجه من متجهين المتجه، عموديا على كلا ناقوها البيانات، وطول طوله يساوي نتاج هذه المتجهلات مع زاوية جيبية بين متجاهات البيانات، وكذلك هذا المتجه مع اثنين من الأحرف الأولى لديهم توجه أكثر إحكاما ، مثل نظام تنسيق التقدم.
التعيين: $ \\ overline (α) x \\ overline (β) $.
رياضيا، يبدو أن هذا:
- $ | \\ Overline (α) x \\ overline (β) | \u003d | \\ overline (α) || \\ overline (β) | sin\u2061∠ (\\ overline (α)، \\ overline (β)) $
- $ \\ overline (α) x \\ overline (β) ⊥ \\ overline (α) $، $ \\ overline (α) x \\ overline (β) ⊥ \\ overline (β) $
- $ (\\ overline () x \\ overline (β)، \\ overline (α)، \\ overline (β)) $ (β)) $ (\\ overline (i)، \\ overline (j)، \\ overline (k)) $ بالتساوي المنحى (الشكل 2)
من الواضح أن المنتج الخارجي للمتجاهج سيكون مساويا لنطق الصفر في حالتين:
- إذا كان طول واحد أو كليهما صفر.
- إذا كانت الزاوية بين هذه المتجهلات ستكون 180 دولارا ^ \\ CIRT $ أو 0 ^ \\ CIRR $ (كما في هذه الحالة، الجيوب الأنفية صفر).
لمعرفة بصريا كيف يقع ناقلات المتجهات، النظر في الأمثلة التالية للحل.
مثال 1.
العثور على طول المتجه $ \\ Overline () $، والتي ستكون نتيجة لمنتج ناقلات من متجهات، مع إحداثيات $ \\ Overline (α) \u003d (0.4.0) $ \\ overline (β) \u003d (β) \u003d ( 3.0.0) $.
قرار.
صور هذه المخلفات في الفضاء الإحداثي الديكارتي (الشكل 3):
الشكل 3. ناقلات في الفضاء الإحداثي الديكارتي. المؤلف 24 - تبادل الإنترنت للطالب
نرى أن هذه المتجهات تكمن على محاور الثور $ $ و $ OY $، على التوالي. وبالتالي، ستكون الزاوية بينهما 90 دولارا ^ \\ CD. العثور على أطوال هذه المتجهلات:
$ | \\ Overline (α) | \u003d \\ SQRT (0 + 16 + 0) \u003d $ 4
$ | \\ Overline (β) | \u003d \\ SQRT (9 + 0 + 0) \u003d $ 3
ثم، بحكم التعريف 1، نحصل على $ | الوحدة النمطية \\ Overline () | $
$ | \\ Overline () | \u003d | \\ overline (α) || \\ overline (β) | sin90 ^ \\ circ \u003d 4 \\ cdot 3 \\ cdot 1 \u003d 12 $
الجواب: 12 دولارا.
حساب الفنية المتجهة وفقا لإحداثيات المتجهات
من التعريف 1 يتدفق على الفور وطريقة العثور على منتج متجه لمتوافرين. نظرا لأن هذا المتجه إلى جانب القيمة له أيضا اتجاه، فمن المستحيل العثور عليه فقط مع قيمة العددية. ولكن إلى جانب ذلك، لا تزال هناك طريقة للعثور على ناقلات بهذه الإحداثيات.
اسمحوا لنا أن نقدم لنا ناقلات $ \\ Overline (α) $ \\ overline $ \\ overline (β) $، والتي ستؤدي إلى إحداثيات $ (α_1، α_2، α_3) $ و $ (β_1، β_2، β_3) $ على التوالي. ثم ناقل عمل ناقل (أي، إحداثياته \u200b\u200bيمكن العثور عليها وفقا للصيغة التالية:
$ \\ overline (α) x \\ overline (β) \u003d \\ overly (vmatrix) \\ overline (i) \\ overline (j) \\ overline (j) & \\ overline (k) \\\\ α_1 α_2 α_3 \\\\ β_1 & β_2 β_3 \\ end (vmatrix) $
خلاف ذلك، وكشف عن المحدد، نحصل على الإحداثيات التالية
$ \\ overline (α) x \\ overline (β) \u003d (β_2 β_3-α_3 β_2، α_3 β_1-α_1 β_3، α_1 β_2-α_2 β_1) $
مثال 2.
ابحث عن منتج ناقلات متجه من ناقلات ناقلات Collinear $ \\ Overline $ (α) $ و $ \\ overline (β) $ مع إحداثيات $ (0.3.3) $ و $ (- 1،2،6) $.
قرار.
نحن نستخدم الصيغة أعلاه. تسلم
$ \\ Overline (α) x \\ overline (β) \u003d \\ overly (vmatrix) \\ overline (i) \\ overline (j) & \\ overline (k) \\\\ 0 & 3 & 3 \\\\ - 1 و 2 و 6 \\ End (vmatrix) \u003d (18 -6) \\ overline (i) - (0 + 3) \\ overline (j) + (0 + 3) \\ overline (k) \u003d 12 \\ overline (i) -3 \\ overline (j ) +3 \\ overline (k) \u003d (12، -3.3) $
الجواب: $ (12، -3.3) $.
خصائص العمل الفني
للمركبات التعسفي ثلاثة ناقلات من $ \\ overline (α) $، $ \\ overline (β) $ \\ overline (γ) $، وكذلك $ r∈r $، الخصائص التالية:
مثال 3.
ابحث عن منطقة الموازية التي تحتوي رؤوسها على إحداثيات بقيمة (3.0.0 دولار)، $ (0.0.0) $، $ (0.8.0) $ (3.8.0) $ (3.8.0) دولار.
قرار.
في البداية، سنظهر هذا متوازيا في مساحة الإحداثيات (الشكل 5):
الشكل 5. الملاعب في مساحة الإحداثيات. المؤلف 24 - تبادل الإنترنت للطالب
نرى أن الجانبين من هذا المتوازي مصنوع باستخدام ناقلات Collinear مع إحداثيات $ \\ Overline (α) \u003d (3.0.0) $ و $ \\ overline (β) \u003d (0.8.0) $. باستخدام الممتلكات الرابعة، نحصل على:
$ s \u003d | \\ overline (α) x \\ overline (β) | $
سنجد المتجه $ \\ Overline (α) x \\ overline (β) $:
$ \\ Overline (α) x \\ overline (β) \u003d \\ overly (vmatrix) \\ overline (i) \\ overline (j) & \\ overline (k) \\\\ 3 & 0 & 0 \\\\ 0 & 8 & 0 \\ end (vmatrix) \u003d 0 \\ overline (i) -0 \\ overline (j) +24 \\ overline (k) \u003d (0،0،24) $
لذلك
$ s \u003d | \\ overline (α) x \\ overline (β) | \u003d \\ sqrt (0 + 0 + 24 ^ 2) \u003d 24 $
ناقلات الفن - هذا هو طائر رقيق، طائرة عمودي، مبنية على شهادين، والتي هي نتيجة لعملية ثنائية "مضاعفة ناقلات" عبر المتجهات في الفضاء الإقليدية ثلاثي الأبعاد. لا يحتوي منتج Vector على خصائص المساكن والزملاء (هو مضاد للتخفيف)، وعلى عكس المنتج العددي للمتجهات، هو متجه. تستخدم على نطاق واسع في العديد من التطبيقات الفنية والفيزيائية. على سبيل المثال، لحظة الدافع وقوة Lorentz التي سجلت رياضيا في شكل عمل متجه. المنتج المتجه مفيد ل "قياس" عمودي المتجهات - وحدة المنتج ناقلات متجهتين يساوي نتاج وحداتها، إذا كانت عموديا، وينخفض \u200b\u200bإلى الصفر إذا كانت المتجهات متوازية أو مضادة وبعد
يمكنك تحديد منتج Vector بطرق مختلفة، ومن الناحية النظرية، في مساحة أي أبعاد N، من الممكن حساب نتاج ناقلات N-1، بعد الحصول على ناقل فقط عموديا لهم جميعا. ولكن إذا كان العمل يقتصر على الأعمال الثنائية غير التافهة مع نتائج ناقلات، فسيتم تعريف منتج Vector التقليدي فقط في مسافات ثلاثية الأبعاد وسبع الأبعاد. نتيجة منتج متجه، مثل العددية، يعتمد على متري مساحة الإقليدية.
على عكس الصيغة للحساب وفقا لإحداثيات ناقلات المنتج العددي في نظام تنسيق مستطيل ثلاثي الأبعاد، يعتمد المنتج في صيغة متجه على اتجاه نظام الإحداثيات المستطيلة أو، وإلا، "شنيته".
تعريف:
منتج متجه A على المتجه B في الفضاء R 3 يسمى المتجهات C، مرضية المتطلبات التالية:
يبلغ طول المتجه C يساوي نتاج أطوال المتجهات A و B على جيب الزاوية بينهما:
| ج | \u003d | a || ب | الخطيئة؛
ناقلات C هو متعامدة لكل ناقلات A و B؛
يتم توجيه متجه C بحيث يكون الجزء العلوي من ناقلات ABC على حق؛
في حالة الفضاء R7، فإن الارتباط من ناقل ناقلات الثلاثة أ، ب، ج يلزم.
تعيين:
c \u003d\u003d\u003d A × B
تين. 1. مساحة متوازية تساوي وحدة منتج متجه
الخواص الهندسية من ناقلات العمل:
الشرط الضروري والكافي للانقطاع الناتج عن اثنين من ناقلات غير صفرية هو المساواة صفر من فنها المتجه.
وحدة من الفنية المتجهة يساوي مربع س. متوازي مبني على الإصدارات المقدمة إلى بداية المراجبات العامة العامة أ. و ب. (انظر الشكل 1).
اذا كان هيا - ناقلات واحدة، ناقلات متعامدة أ. و ب. واختار بحيث ترويكا أ، ب، ه - الحق، و س. - مساحة المتوازية التي بنيت عليها (تعطى إلى البداية العامة)، ثم الصيغة صالحة لمنتج ناقل:
\u003d S E.
الصورة 2. حجم المتوازي عند استخدام المنتج ناقلات وسكالة من المتجهات؛ تظهر الخطوط المنقطة توقعات المتجه C على A × B والمتجهات A على B × C، والخطوة الأولى هي العثور على أعمال العددية.
اذا كان جيم - بعض ناقلات، π
- أي طائرة تحتوي على هذا المتجه، هيا - ناقلات واحدة ملقاة في الطائرة π
والأبرامي ك ج، g.- ناقلات واحدة، متعامدة إلى الطائرة π
وإخراج بحيث الجزء العلوي من المخلفات eCG. هو الصحيح، ثم لأي طائرة π
المتجه أ. Formula Fair:
\u003d PR E A | C | G
حيث pr e الإسقاط من ناقل ه على
| C | وحدة ناقلات مع
عند استخدام Works Vector and Scalar، يمكنك حساب حجم المتوازي المتوازي، الذي تم إنشاؤه على الإصدارات الموجودة في بداية الإصدارات العامة العامة. أ، ب. و جيموبعد يسمى هذا المنتج من ثلاثة ناقلات مختلطة.
v \u003d | a (b × c) |
يوضح الشكل أنه يمكن العثور على وحدة التخزين هذه بطريقتين: يتم الاحتفاظ بالنتيجة الهندسية حتى عند استبدال "العدد العددية" و "ناقل" يعمل في الأماكن:
v \u003d a × b c \u003d a b × c
يعتمد حجم المنتج المتجه على جيب الزاوية بين المتجهات الأصلية، لذلك يمكن اعتبار منتج ناقل الناهر كدرجة من "العمودية العمولي" من المتجهات وكذلك منتج العددية يمكن اعتباره درجة من "توازي" وبعد المنتج ناقل ناقلات اثنين من ناقلات واحدة هو 1 (ناقلات واحدة)، إذا كانت المتجهات الأصلية عمودي، وتساوي 0 (ناقلات صفر)، إذا كانت المتجهات متوازية أو متوازية.
التعبير عن العمل المتجه في الإحداثيات الديكارتية
إذا ناقما اثنين أ. و ب. محددة من قبل الإحداثيات الديكارتية المستطيلة، وعلى وجه التحديد - المقدمة في أساس غير طبيعي
a \u003d (x، y، a z)
ب \u003d (b x، b y، b z)
ونظام الإحداثيات هو الصحيح، ثم فن ناقلهم لديه المظهر
\u003d (ذ بي z-z b y، z b x-x b z، x b y -a y b x)
لحفظ هذه الصيغة:
i \u003d σε ijk a j b k
أين ε ijk.- Levi-Civita رمز.
قبل أن تعطي مفهوم العمل المتجه، انعطف إلى مسألة اتجاه ثلاثة أضعاف من ناقلات أمر →، ب →، ج → في الفضاء ثلاثي الأبعاد.
سنقوم بتأجيل المتجهات A →، B →، C → من نقطة واحدة. اتجاه Triple A →، B →، C → هو على حق أو يسار، اعتمادا على اتجاه المتجه C →. في أي اتجاه أقصر دوران للمتجه A → K B → من نهاية المتجه C →، يتم تحديد نوع Troika A →، B →، C →.
إذا تم تنفيذ أقصر دوران عكس اتجاه عقارب الساعة، فإن ثلاث مرات من المسافر A →، B →، C → حقإذا كان في اتجاه عقارب الساعة - ليفا.
بعد ذلك، خذ متجه غير قابل للطي A → و B →. سأنشر بعد ذلك من النقاط A Vect A B → \u003d A → و C → \u003d B →. نحن نبني ناقلات A D → \u003d C →، والذي يتم في الوقت نفسه عموديا على كل من B → و C →. وبالتالي، عند إنشاء ناقل نفسه D → \u003d C → يمكننا أن نفعل BICON، وإعداده أو اتجاه واحد، أو العكس (انظر التوضيح).
أمر ثلاثة ناقلات A →، B →، C → ربما، كما أحسبنا اليمين أو اليسار، اعتمادا على اتجاه المتجه.
من ما سبق، يمكننا الدخول إلى تعريف عمل ناقل. يتم إعطاء هذا التعريف لمتوافرين محددين في نظام الإحداثيات المستطيلة للمساحة ثلاثية الأبعاد.
التعريف 1.
ناقلات المنتج من اثنين من المسافر a → و b → سنقوم بتصوير هذا المتجه المحدد في نظام التنسيق المستطيل للمساحة ثلاثية الأبعاد بحيث:
- إذا كانت المتجهات هي → و B → Collinear، فسيكون صفر؛
- سيكون عموديا على ناقل A → والمتجه B → I.E. ∠ → C → \u003d ∠ B → C → \u003d π 2؛
- يتم تحديد طولها من قبل الصيغة: C → \u003d A → · B → · sin ∠ a →، B →؛
- عدد المتجهات A →، B →، C → لديه نفس التوجه كنظام الإحداثيات المحدد.
ناقلات الفني من المتجهات a → و b → لديه التعيين التالي: A → × B →.
إحداثيات العمل المتجه
نظرا لأن أي متجه يحتوي على إحداثيات معينة في نظام الإحداثيات، يمكنك إدخال التعريف الثاني لمنتج متجه، والذي سيسمح لك بإيجاد إحداثياته \u200b\u200bوفقا للإحداثيات المحددة للمتجهات.
تعريف 2.
في نظام التنسيق المستطيل للفضاء ثلاثي الأبعاد ناقلات المنتج من ناقلات اثنين من ناقلات a → \u003d (a x؛ a y؛ a z) و b → \u003d (b x؛ b y؛ b z) استدعاء ناقلات c → \u003d a → × b → \u003d (AY · BZ - AZ · من قبل) · أنا → + (AZ · BX - AX · BZ) · j → + (AX · بواسطة - AY · BX) · K →، حيث أنا →، J →، K → هي تنسيق ناقلات.
يمكن تقديم منتج Vector كحدد مصفوفة مربعة ترتيب ثالث، حيث يكون السطر الأول أو →، J →، K →، يحتوي السطر الثاني على إحداثيات متجه A →، والثالث - إحداثيات المتجه → في نظام تنسيق مستطيل معين، هذا محدد من المصفوفة يبدو وكأنه هذا: c → \u003d a → × b → \u003d i → j → k → axayazbxbybz
تحويل هذا المحدد لعناصر السطر الأول، نحصل على المساواة: C → \u003d A → × B → \u003d I → J → K → AXAZBXBYBZ \u003d AYAZBYBX \u003d AYAZBYBX · i → axazbxbz · → + axaybxby → k → \u003d \u003d a → × ب → \u003d (AY · BZ - AZ · من قبل) · أنا → + (AZ · BX - AX · BZ) · j → + (AX · by-ay · bx) · k →
خصائص العمل المتجه
من المعروف أن المنتج المتجه في الإحداثيات يبدو محددا لمصفوفة C → \u003d a → × b → \u003d i → j → k → a x a y a z b x b y b z، ثم على أساس خصائص محدد المصفوفة يعرض ما يلي خصائص العمل المتجه:
- المضادة للتخميل A → × B → \u003d - B → × A →؛
- توزيع A (1) → + A (2) → × B \u003d A (1) → × B → + A (2) → × B → أو → × B (1) → B (2) → \u003d a → × ب (1) → + A → × B (2) →؛
- الزملية λ · → → × B → \u003d λ · A → × B → أو → × (λ λ b →) \u003d λ · → × B →، حيث λ هو رقم صالح تعسفي.
هذه الخصائص ليس لها أدلة صعبة.
على سبيل المثال، يمكننا إثبات الملكية المضادة للتجاهل لمنتج ناقلات.
دليل على المضادة للتخميل
بحكم التعريف a → × b → \u003d i → j → k → a x a y a z b x b y b z and b → k → \u003d i → → → k → b x b y b z a x a y a z. وإذا كان سطرين من المصفوفات إعادة ترتيب في أماكن، يجب أن تتغير قيمة المحدد في المصفوفة إلى العكس، لذلك، A → × B → \u003d I → J → K → Axayazbxbybz \u003d - i → J → K → bxbybzaxaz \u003d - b → × a → ذلك وتثبت المناهضين على عمل ناقل.
ناقلات الفن - الأمثلة والحلول
في معظم الحالات، هناك ثلاثة أنواع من المهام.
في مهام النوع الأول، عادة ما يتم تعيين طول ناقلين والزاوية بينهما، وتحتاج إلى العثور على طول منتج متجه. في هذه الحالة، استخدم الصيغة التالية C → \u003d A → · B → SED ∠ A →، B →.
مثال 1.
ابحث عن طول المنتج ناقل ناقلات A → و B →، إذا كان معروفا → \u003d 3، b → \u003d 5، ∠ a →، b → \u003d π 4.
قرار
باستخدام تعريف طول المنتج ناقل ناقلات A → و B → أحل هذه المهمة: a → × b → \u003d a → · b → · sin ∠ a →، b → \u003d 3 · 5 · الخطيئة π 4 \u003d 15 2 2.
إجابه: 15 2 2 .
ترتبط كائنات النوع الثاني بإحداثيات المتجهات، وفي منتج منتج متجه، طوله، إلخ. بحثت من خلال الإحداثيات المعروفة للمتجاول المحددة → \u003d (x؛ ذ؛ a z) و ب → \u003d (b x؛ b y؛ b z) .
لهذا النوع من المهمة، يمكنك حل خيارات الكثير من المهام. على سبيل المثال، إحداثيات المتجهات A → و B →، ولكن تحللها على ناقلات الإحداثيات من النموذج يمكن تقديمها. ب → \u003d b x · i → + b y · → + b z → و c → \u003d → → × b → \u003d (AY · BZ - AZ · AZ · بواسطة) · i → ALS (AZ · BX - AX · BZ) · j → + (AX · by-ay · bx) · k →، أو ناقلات A → و B → يمكن وضعها من قبل إحداثيات نقاط البداية ونهايتها.
النظر في الأمثلة التالية.
مثال 2.
في نظام الإحداثيات المستطيلة، ناقلات اثنين → \u003d (2؛ 1؛ - 3)، ب → \u003d (0؛ - 1؛ 1). العثور على فن ناقلاتهم.
قرار
في التعريف الثاني، نجد نتاج متجه من متجهتين في الإحداثيات المحددة: A → × B → \u003d (AY · BZ - AZ z-AZ · بواسطة) · i → ALS (AZ · BX - AX · BZ) · j → + (AX · by-ay · bx) · k → \u003d \u003d (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · I → ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + ( 2 · (- 1) - 1 · 0) · k → \u003d - 2 I → 2 J → - 2 K →.
إذا قمت بتسجيل منتج متجه من خلال محدد المصفوفة، فإن حل هذا المثال هو كما يلي: a → × b → \u003d i → j → k → axayazbxbybz \u003d i → → → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 \u003d - 2 أنا → - 2 J → - 2 ك →.
إجابه: → × B → \u003d - 2 I → 2 J → - 2 K →.
مثال 3.
ابحث عن طول ناقلات المنتج من المتجهات I → - j → وأنا → + j → + k →، حيث أنا →، j →، K → - تقسيم نظام الإحداثيات الديكارتية المستطيلة.
قرار
لتبدأ، سنجد إحداثيات المنتج المحدد ناقلات I → - J → → → → → + K → في هذا النظام الإحداثي المستطيل.
ومن المعروف أن ناقلات I → - J → وأنا → → → + K → لديك إحداثيات (1؛ - 1؛ 0) و (1؛ 1؛ 1)، على التوالي. ابحث عن طول منتج متجه باستخدام محدد المصفوفة، ثم لدينا → - j → × i → → k → 1 - 1 0 1 1 1 \u003d - i → - j → + 2 k →.
وبالتالي، فإن المنتج ناقل وأنا → J → × i → → + k → لديه إحداثيات (- 1؛ - 1؛ 2) في نظام تنسيق معين.
سنجد طول منتج متجه وفقا للصيغة (انظر القسم العثور على طول المتجه): أنا → - J → × i → → + k → \u003d - 1 2 + - 1 2 + 2 2 \u003d 6.
إجابه: أنا → - j → × i → + j → + k → \u003d 6. وبعد
مثال 4.
في نظام تنسيق ملحوظ مستطيل، يتم تعيين إحداثيات ثلاث نقاط A (1، 0، 1)، B (0، 2، 3)، C (1، 4، 2). العثور على بعض ناقلات عمودي a b → و c → في نفس الوقت.
قرار
ناقلات A B → و C → لديها الإحداثيات التالية (- 1؛ 2؛ 2) و (0؛ 4؛ 1)، على التوالي. بعد العثور على منتج متجه من ناقلات ناقلات A B → و C →، من الواضح أنه ناقل عمودي بحكم التعريف وإلى ب → وإلى ج →، أي هو حل مهمتنا. نجدها ب → → × A C → \u003d I → J → K → 1 2 2 0 4 1 \u003d - 6 i → + j → - 4 K →.
إجابه: - 6 أنا → + j → - 4 K →. - واحدة من ناقلات عمودي.
تركز مهام النوع الثالث على استخدام خصائص الفنية المتجهة. بعد استخدامها، سوف نتلقى حلا لمهمة معينة.
مثال 5.
ناقلات A → و B → عمودي وأطوالها متساوية، على التوالي، 3 و 4. ابحث عن طول المنتج ناقل 3 · A → B → × A → 2 · B → \u003d 3 · A → × A →-2 · B → + - B → × A → - 2 · B → \u003d \u003d 3 · a → × a → + 3 · → × - 2 · B → + - B → × A → + - B → × - 2 · B →.
قرار
من خلال خاصية توزيع المنتج ناقل، يمكننا كتابة 3 · A → B → × A → 2 → B → \u003d 3 · → × A →-2 · B → + - B → → - 2 · B → \u003d \u003d 3 · → → × a → + 3 → × - 2 · B → + - B → × A → + - B → × - 2 · B →
من خلال خاصية الارتباطية، سنقوم بنقل المعاملات العددية لعلامة ناقلات تعمل في التعبير الأخير: 3 → → × A → + 3 → → × - 2 · B → + - B → × a → + + - ب → → × - 2 · B → \u003d \u003d 3 · A → × a → + 3 · (- 2) → × B → + (- 1) · B → × a → + (- 1) · (- 2) · (- 2) · (- 2) ) · ب → → × B → \u003d \u003d 3 · A → × A → → → × B → - B → × A → + 2 · B → × B →
ناقلات يعمل → × a → و b → → × b → متساوية 0، كما → × a → \u003d a → → → → → → × B → \u003d B → → B → · SIN 0 \u003d 0، ثم 3 · → × a → - 6 → → × B → - B → × A → + 2 · B → × B → \u003d - 6 · A → → × B → → × B → - B → × a →. وبعد
من المضادة للمنتج لمنتج ناقلات المنتج، 6 · → × B → - B → → → → → → × B → (- 1) · A → × B → \u003d - 5 · A → × B وبعد وبعد
باستخدام خصائص العمل المتجه، نحصل على المساواة 3 · A → - B → × A → → - 2 · B → \u003d \u003d - 5 · A → × B → × B
حسب الحالة، ناقلات A → و B → عمودي، أي الزاوية بينهما يساوي π 2. الآن يبقى فقط لاستبدال القيم الموجودة في الصيغ المقابلة: 3 · A → B → × A →-2 · B → \u003d - 5 · A → → × B → \u003d 5 → → × B → \u003d 5 · → · b → · الخطيئة (A →، B →) \u003d 5 · 3 · 4 · الخطيئة π 2 \u003d 60.
إجابه: 3 · A → - B → × a → - 2 · B → \u003d 60.
طول المنتج ناقل ناقلات الانتصاب يساوي → × ب → \u003d a → · b → sin ∠ a →، b →. نظرا لأنها معروفة بالفعل (من دورة المدرسة) بأن منطقة مثلث تساوي نصف عمل طول الجانبين مضروبة في الزاوية بين هذه الأحزاب. لذلك، فإن طول منتج متجه يساوي مساحة متوازية - مثلث مزدوج، وهما نتاج الأطراف في شكل ناقلات A → و B →، معلق من نقطة واحدة، على الزاوية الجيوب الأنفية بين لهم الخطيئة ∠ →، ب →.
هذا هو المعنى الهندسي لمنتج ناقلات.
المعنى المادي للأعمال المتجهة
في الميكانيكا، واحدة من أقسام الفيزياء، بفضل منتج متجه، يمكنك تحديد لحظة القوة بالنسبة إلى نقطة الفضاء.
تعريف 3.
في الوقت الحالي من القوة F → تنطبق على النقطة ب، بالنسبة إلى النقطة، نحن نفهم المنتج التالي ناقل المنتج A B → F →.
إذا لاحظت خطأ في النص، فيرجى تحديدها واضغط على CTRL + ENTER
الإنجليزية: ويكيبيديا تجعل الموقع أكثر أمانا. أنت تستخدم متصفح ويب قديم لن يكون قادرا على الاتصال Wikipedia في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو اتصل بمسؤول تكنولوجيا المعلومات الخاص بك.
中文: medications更 (仅 英语).
Español: ويكيبيديا إسا هاسيندو سيتيو ميس سيغورو. Usted Está Utilizando Un Navegador Web Viejo Que No Será Capaz de Coactarse A Wikipedia En El Futuro. Activalice SU DisstiVo O اتصالات A SU Administrador InformaTico. Más Abajo Hay Una Actualización Más Larga Y Más Técnica en Inglés.
ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.
فرانسيس: Wikipédia VA Bientôt Austmenter La Sécurité de Son Site. Vous Utilisez Actolement Un Navigateur Web Ancien، Qui NE Pourra Plus SE Connecter à Wikipédia Lorsque Ce Sera Fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administratedur informatique à cethe fin. Des Informations Formémentaires Plus تقنيات ET EN Anglais Sont Supponibles CI-Dissous.
日本語: ウィキペディア で は は の セキュリティ セキュリティ を を い い い い い ご の ブラウザ は は バージョン が 古く 今後 でき 今後 今後 接続 でき でき でき なる 能 能 性 あり あり ます デバイス を 更 する する か か 管理 管理 者 する か か 管理 管理 者 相談 相談 相談 ください ください ください ください ください ください ください 者ください技術 面 詳しい 詳しい 更 更 情報 は 以下 に で 提供 し し い い.
الألمانية: ويكيبيديا erhöht يموت sicherheit der webseite. Du Benutzt أينين Alten WebBrowser، دير في Zukunft Nicht Mehr Auf Wikipedia Zugreifen Können Wird. Bitte Aktualisiere Dein Gerät Oder Sprich Deinen IT-Administrator A. Ausführlichere (UND Technisch Detailleierrete) Hinweise Guestest du Utten في Sprache الإنجليزية.
ايطالي: ويكيبيديا sta rendendo il sito più sicuro. Stai USando Un Browser Web Che Non SAR في Grado di Connetersi ويكيبيديا في فوتورو. لكل فوور، Aggiorna Il Tuo TronseIvo O Contatta Il Tuo Amministratore Informatico. PIù في Basso ç Provonibile Un Aggiornato Più Dettagliato e Tecnico في Inglese.
Magyar: Biztonságosabb Lesz ويكيبيه. a böngésző، amit használsz، nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. használj modernebb szoftvert vagy jelezd a prodlemát a rendszergazdádnak. albb olvashatod a részletesebb magyarázatatot (أنجولول).
Svenska: ويكيبيديا قرش سيدان مير سكني. du använder ar Äldre webbläsare som inte كومير ايت كانا لانسا ويكيبيديا أنا فرمديدين. Uppdatera DIN Enhet Eller Kontakta Din IT-Administratör. DED Finns en längre Och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.
हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।
نحن نقوم بإزالة الدعم لإصدارات بروتوكول TLS غير الآمن، وتحديدا TLSV1.0 و TLSV1.1، والتي يعتمد برنامج المتصفح الخاص بك على الاتصال بمواقعنا. يحدث هذا عادة عن المتصفحات القديمة، أو الهواتف الذكية التي تعمل بنظام Android. أو يمكن أن يكون تداخل من برنامج "أمان الويب" الخاص بالشركات أو الشخصية، والذي يقوم في الواقع بتخفيضات أمن الاتصال.
يجب عليك ترقية متصفح الويب الخاص بك أو إصلاح هذه المشكلة وإصلاح هذه المشكلة للوصول إلى مواقعنا. ستبقى هذه الرسالة حتى 1 يناير 2020. بعد ذلك التاريخ، لن يكون متصفحك قادرا على إنشاء اتصال بمخوادنا.
تعريف. يسمى ناقل المتجه A على المتجه B. المتجه الذي تم تعيينه بواسطة رمز ["، B] (أو LXB)، بحيث 1) طول المتجه [أ، ب] يساوي (ص، حيث y هي الزاوية بين المتجهات A و B (FIG.31)؛ 2) ناقل [أ، ب) عمودي إلى متجهات A و B، I.E. عمودي على متن هذه الموعظات؛ 3) يتم توجيه المتجه [A، B] بحيث من نهاية هذا المتجه، فإن أقصر دوران من أ إلى ب هو مرئي عكس اتجاه عقارب الساعة (الشكل 32). تين. 32 FIG.31 بمعنى آخر، ناقلات A، B و [A، B) شكل ناقلات الثلاثة الأيمن، أي تقع على أنها كبيرة، فهرس وأصابع متوسطة من اليد اليمنى. إذا كان المتجهات A و B Colorinear، فإننا نفترض أن [A، B] \u003d 0. بحكم التعريف، طول منتج متجه يساوي عدديا للمنطقة المتوازية SA (الشكل 33)، بنيت على المتجهات المتغيرة A و B على الجانبين: 6.1. خصائص العمل المتجه 1. المنتج المتجه يساوي متجه الصفر إذن وفقط عندما يكون أحد المخلفات المتغيرة على الأقل صفر أو عند هذه المخلفات الطوفية (إذا كان ناقلات A و B Colorinear، فإن الزاوية بينهما إما 0 أو 7G). من السهل الوصول إليها من حقيقة أنه إذا عدت ناقلات الصفر مع مضطرب لأي ناقلات، فيمكن التعبير عن حالة نقض ناقلات A و B، لذلك 2. المنتج ناقل مضاد للتخفيف، أي دائما. في الواقع، ناقلات (أ، ب) والحصول على نفس الطول والانقسام. اتجاهات هذه المتجهلات هي الأضداد العكسية بسبب نهاية المتجه [أ، ب] سينظر أقصر دوران من أ إلى ب على عقارب الساعة، ومن نهاية المتجه [B، A] - في اتجاه عقارب الساعة ( الشكل 34). 3. المنتج ناقل لديه خاصية توزيع فيما يتعلق بالإضافة. 4. يمكن إجراء المضاعف الرقمي ل علامة المنتج المتجه 6.2. إن منتج متجه من المتجهات المحددة من قبل الإحداثيات يدعون المتجهات ويتم وضعه أيضا من قبل إحداثياتهم في القاعدة. باستخدام خاصية التوزيع لمنتج Vector، نجد منتج ناقلات من المتجهات من قبل الإحداثيات. العمل المختلط. نحن صد العمل المتجه من رسخات الإحداثيات (الشكل 35): لذلك، بالنسبة لمنتج ناقلات ناقلات A و B، نحصل على صيغة التعبير (3) يمكن كتابة صيغة التعبير التالية (4) في رمز رمزي، لا تنسى بسهولة النموذج، إذا كنت تستخدم تحديد الحدودي للترتيب الثالث: التحلل هذا المحدد لعناصر السطر الأول، نحصل عليه (4). أمثلة. 1. ابحث عن منطقة الموازية المدمجة في المنطقة المتجهة المترتبة حتى نجد \u003d من حيث 2. العثور على منطقة مثلث (الشكل 36). من الواضح أن المنطقة ب "D" يثلث يساوي نصف المتوازي المتوازي في المربع عن الاتحاد الأفريقي مقابل. حساب منتج متجه (A، B | ناقلات A \u003d OA و B \u003d أوه، نحصل على ملاحظة. ناقل المنتج غير موجود، أي المساواة ((أ، ب)، ج) \u003d [A، B، C)) في الحالة العامة غير صحيحة. على سبيل المثال، عندما يكون \u003d SS J، لدينا § 7. المنتج المختلط لل ناقلات السماح لهم بالحصول على ثلاثة ناقلات A، B و S. نقل المتجهات A و 1\u003e قريبا. نتيجة لذلك، نحصل على المتجه [A، 1\u003e]. اضربه هو العددية إلى المتجه C: (K B)، ج). يسمى الرقم ([A، B]، E) منتج مختلط من المتجهات A، ب. مع الرمز وأشار إليه الرمز (A، 1)، ه). 7.1. معنى هندسي للأعمال المختلطة بعد تأجيل ناقلات الدفع (ب) ومن النقطة المستهلكة O (الشكل 37). إذا كانت جميع النقاط الأربع أوه، أ، ب، ج، في نفس الطائرة (ناقلات A، B و C يتم استدعاؤها في هذه الحالة القضية)، ثم منتج مختلط ( [أ، \u200b\u200bب]، ج) \u003d 0. يتبع ذلك من حقيقة أن المتجه [أ، ب | عمودي على متن الطائرة التي يكون فيها ناقلات A و 1 تعظيم "، لذلك، المتجه مع. / إذا ر النقاط O، أ، ب، ج لا تكذب في نفس العظام المسطحة (ناقلات A، B ومعها مع عدم الإمكانية)، نبني على حواف OA، OB والتوازي (الشكل. 38 أ). بحكم تعريف المنتج "ناقل"، لدينا (A، B) \u003d لذلك مع، أين هو منطقة موازية Oadb متوازية، و C ناقلة واحدة، عموديا على ناقلات A و B وذاكرة ترويكا أ، ب، ج - اليمين ، بمعنى آخر يقع ناقلات A، B و C، على التوالي، ككبير، مؤشر وأصابع متوسطة من اليد اليمنى (الشكل 38 ب). ضرب كل من الجزءين من المساواة الأخيرة إلى العدد الصحيح للمتجه C، نحصل على منتج ناقلات ناقلات الإحداثيات المحددة. العمل المختلط. عدد RGS C يساوي ارتفاع H الذي تم إنشاؤه بالتوازي مع علامة "+"، إذا كانت الزاوية بين المتجهات مع ومع الحادة (Troika A، B، C - على حق)، ومع علامة "-" ، إذا كانت الزاوية غبية (Troika A، B، С - يسار)، بحيث، وبالتالي، فإن المنتج مختلط من المتجهات A، B ويساوي حجم V متوازي، بنيت على هذه المتجهات كما في المزقت، إذا كانت ثلاث ترويكا أ، ب، ج - اليمين، و، إذا غادر ترويكا أ، ب، ق. بناء على المعنى الهندسي للعمل المختلط، يمكن أن نستنتج ذلك، مضاعفة ناقلات TC A، B و C بأي ترتيب آخر، وسوف نتلقى دائما إما +7 أو -k. علامة الإنتاج. 38 الصيانة تعتمد فقط لأن الثلاثات تشكل ناقلات المتغير - اليمين أو اليسار. إذا كان ناقلات A، B، مع TROIKA الصحيح، ثم Therogy B، C، A و C، A، B أيضا على حق. في الوقت نفسه، جميع القوات الثلاث ب، ومع؛ A، S، B و S، ب، أ - يسار. وهكذا، (A، B، C) \u003d (B، S، A) \u003d (S، A، B) \u003d - (B، A، C) \u003d - (A، S، B) \u003d - (S، B، لكن). Esherase نؤكد أن المنتج المختلط للمتجاهج يساوي Nuduchoga فقط عندما يكون ناقلات المتغير A، B، مع مصفح: (أ، ب، مع شركة) 7.2. العمل المختلط في الإحداثيات، دع الناقلات A، B، يتم تعيينها من قبل إحداثياتهم في الأساس I، J، K: A \u003d (x \\، y \\، z])، b \u003d (x2، y2\u003e z2)، c \u003d (x3، uz، 23). نجد التعبير عن عملهم المختلط (أ، ب، ج). لدينا منتج مختلط من المتجهات التي قدمها الإحداثيات في قاعدة I، J، K، تساوي محدد الترتيب الثالث، يتم تكوين صفوفها وفقا لذلك من إحداثيات أول، ثالث وثالث ناقلات المتغير. حالة المطلوبة وكافية لرفيق ناقلات و y \\، z |)، b \u003d (h u2. 22)، c \u003d (zhz، uz، 23) سيتم تسجيلها بالطريقة التالية | z، ag2 y2 -2 \u003d 0. مثال الترا. تحقق مما إذا كانت المتجهات هي "\u003d (7،4،6)، ب \u003d (2، 1،1)، ج \u003d (19، II، 17). سيتم فرز الناقرات قيد النظر أو غير متوافقة اعتمادا على ما إذا كان سيكون من الصفر أو لا يوجد محدد لتحللها وفقا لعناصر السلسلة الأولى، نحصل على D \u003d 7-6- 4- 15 + 6-3 \u003d 0 ^ - ناقلات ن، ب، مع مصفح. 7.3. منتج متجه مزدوج المنتج المزدوج [أ، [B، C]] هو متجه عموديا على ناقلات A و [B، C]. لذلك، يكمن في طائرة ناقلات B و C ويمكن أن تتحلل على هذه المتجهات. يمكن أن يظهر أن الصيغة صالحة [A، [!\u003e، S]] \u003d B (A، E) - مع (A، K). تمارين 1. ثلاثة ناقلات AV \u003d C، F؟ \u003d O و CA \u003d B بمثابة جانبي المثلث. التعبير عن من خلال A، B ومع مقاهي المطابقة مع المتوسطات صباحا، DN، مثلث CP. 2. ما الحالة يجب أن يكون ناقلات P و Q مرتبطا بالمتجه P + Q تقسيم الزاوية بينها في النصف؟ من المفترض أن تعزى جميع ناقلات الثلاثة إلى البداية العامة. 3. احسب طول قطريات المتوازية التي تم إنشاؤها في المتجهات A \u003d 5P + 2Q و B \u003d P - 3Q، إذا كان معروفا أنه | ص | \u003d 2V / 2، | Q | \u003d 3 h- (p7ci) \u003d f. 4. إعادة حساب المعين باعتبارها جانب و ب من المعين، تثبت أن المعين القطرية عموديا بشكل متبادل. 5. احسب المنتج العددية من ناقلات ناقلات A \u003d 4i + 7J + 3K و B \u003d 31 - 5J + K. 6. ابحث عن وحدة ناقل A0، متجه متوازي A \u003d (6، 7، -6). 7. حدد موقع الإسقاط المتجه A \u003d L + J- KHA Vector B \u003d 21 - J - 3K. 8. تحديد موقع جيب التغليح بين الزوايا بين النقاشات، إذا كان A (-4،0،4)، في (-1،6،7)، ج (1،10،9). 9. ابحث عن متجه واحد من P °، في نفس الوقت ناقلات عمودي A \u003d (3، 6، 8) ومحور الثور. 10. احسب الزاوية الجيوب الأنفية بين قطرات المتوازية المتوازنة، المدمج في ناقلات A \u003d 2i + J-K، B \u003d I-3J + K كما على الجانبين. احسب الارتفاع H متوازي، بنيت في المخلفات A \u003d 31 + 2J - 5K، B \u003d I- J + 4KNC \u003d I-3J + K، إذا تم التقاط الأساس عن طريق التوازي، المدمج في ناقلات A و I). إجابات