Методы доказательства теорем. Построение математических доказательств
Читайте также
Доказать какое-либо утверждение – это значит показать, что это утверждение логически следует из системы истинных и связанных с ним утверждений.
Доказательство – это логическая операция, в процессе которой обосновывается истинность какого-либо утверждения с помощью других истинных и связанных с ним утверждений. Для этого строится конечная цепочка умозаключений, причем заключение каждого из них (кроме последнего) является посылкой в одном из последующих умозаключений.
Основные законы логики :
1. Закон тождества. Каждая мысль, повторяясь в рассуждении, должна быть тождественной самой себе.
Закон тождества означает, что в процессе рассуждения нельзя подменять одну мысль другой, одно понятие другим. Нельзя тождественные мысли выдавать за различные, а различные – за тождественные.
2. Закон непротиворечия. Высказывание и его отрицание не могут быть одновременно истинными; по крайней мере одно из них обязательно ложно.
Если в мышлении (и речи) человека обнаружено формально-логическое противоречие, то такое мышление считается неправильным, а суждение, из которого вытекает противоречие, считается ложным.
3. Закон исключенного третьего. Из двух противоречивых высказываний об одном и том же предмете одно – истинно, а другое – ложно, третьего не дано.
4. Закон достаточного основания. Всякое истинное утверждение должно быть обосновано с помощью других утверждений, истинность которых доказана.
Когда речь идет о математическ4ом доказательстве, надо:
¾ иметь то утверждение, истинность которого нужно доказывать;
¾ понимать, что доказательство – это цепочка дедуктивных умозаключений; оно выполняется по правилам и законам логики;
¾ понимать, какие другие истинные утверждения можно использовать в процессе доказательства.
По способу ведения различают прямые и косвенные доказательства.
Прямое доказательство утверждения А В - это построение цепочки дедуктивных умозаключений, выполняемых последовательно от А к В с соблюдением правил и законов логики и с помощью системы утверждений, истинность которых доказана.
(Если в четырехугольники три угла прямые, то он прямоугольник)
Примером косвенного доказательства является доказательство методом от противного. Сущность его состоит в следующем. Пусть требуется доказать теорему А В. При доказательстве методом от противного допускают, что заключение теоремы (В) ложно, а, следовательно, его отрицание истинно. Присоединив предложение В к совокупности истинных посылок, используемых в процессе доказательства (среди которых находится и условие А), строят цепочку дедуктивных умозаключений до тех пор, пока не получится утверждение, противоречащее одной из посылок и, в частности, условию А.
(а+3> 10, то а ¹7)
Билет 15 Понятие соответствия между множествами. Способы задания соответствий. Взаимно - однозначные соответствия. Равномощные множества. Примеры соответствий (в том числе и взаимно - однозначных).
Приведем пример использования неполной индукции в работе с дошкольниками: используя игру «Чудесный мешочек» с объемными геометрическими фигурами, лаем задание ребенку: «Достань фигуру и назови». После нескольких попыток ребенок делает предположение:
Шар. Шар. Шар. Здесь, наверное, все шары.
Задание 14
Предложите дальнейшие рассуждения для того, чтобы убедиться в истинности (или ложности) полученного утверждения.
Невозможно переоценить значение доказательств в нашей жизни и особенно в науке. К доказательствам прибегают все, но не всегда задумываются, что значит «доказать*. Практические навыки доказательства и интуитивные представления о нем достаточны для многих бытовых целей, но не для научных.
Доказать какое-либо утверждение - это показать, что это логическое утверждение логически следует из системы истинных и связанных с ним утверждений.
Доказательство является логической операцией обоснования истинности какого-либо утверждения с помощью других истинных и связанных с ним утверждений.
В доказательстве выделяют три структурных элемента:
1) доказываемое утверждение;
2) систему истинных утверждений, с помощью которых обосновывается истинность доказываемого;
3) логическую связь между пп. 1 и 2.
Основным способом математического доказательства является дедуктивный вывод.
По своей форме доказательство - это дедуктивное умозаключение или цепочка дедуктивных умозаключений, ведущих от истинных посылок к доказываемому утверждению.
В математическом доказательстве важен порядок расположения умозаключений. По способу ведения различают прямые и косвенные доказательства. К прямым доказательствам относится полная индукция, речь о которой шла в п.1.6.
Полная индукция - способ доказательства, при котором истинность утверждения следует из его истинности во всех частных случаях.
Полная индукция часто применяется в играх с дошкольниками типа: «Назови одним словом».
Пример прямого доказательства высказывания «Сумма углов в любом четырехугольнике равна 360°»:
«Рассмотрим произвольный четырехугольник. Проведя в нем диагональ, получим 2 треугольника. Сумма углов четырехугольника будет равна сумме углов двух образовавшихся треугольников. Так как сумма углов в любом треугольнике 180°, то, сложив 180° и 180°, получим сумму углов в двух треугольниках, она составит 360°. Следовательно, сумма углов в любом четырехугольнике равна 360", что и требовалось доказать».
В приведенном доказательстве можно выделить следующие умозаключения:
1. Если фигура четырехугольник, то в ней можно начертить диагональ, которая разобьет четырехугольник на 2 треугольника. Данная фигура четырехугольник. Следовательно, его можно разбить на 2 треугольника, построив диагональ.
2. В любом треугольнике сумма углов равна ISO". Данные фигуры треугольники. Следовательно, сумма углов каждого из них равна 180°.
3. Если четырехугольник составлен из двух треугольников, то сумма его углов равна сумме углов этих треугольников. Данный четырехугольник составлен из двух треугольников с суммой углов по 180°. 180о+180о=360°. Следовательно, сумма углов в данном четырехугольнике равна 360°.
Все приведенные умозаключения выполнены по правилу заключения, следовательно, являются дедуктивными.
Примером косвенного доказательства является доказательство методом от противного. В этом случае допускают, что заключение ложно, следовательно, его отрицание истинно. Присоединив это предложение к совокупности истинных посылок, проводят рассуждения, пока не получат противоречие.
Приведем пример доказательства от противного теоремы: «Если две прямые а и Ь параллельны третьей прямой с, то они параллельны между собой»:
«Допустим, что прямые а и b не параллельны, тогда они пересекутся в некоторой точке А, не принадлежащей прямой с. Тогда получим, что через точку А можно провести две прямые а и Ь, параллельные с. Это противоречит аксиоме параллельности: «Через точ-
8. Сформулируйте правила явного определения через род и видовое отличие.
9. Какое определение называется:
Контекстуальным;
Остенсивным?
10. Что такое высказывание, а что такое высказывательная форма?
11. Когда предложения видов «А и В», «А или В», «Не А» истинны, а когда ложны?
12. Перечислите кванторы общности и кванторы существования. Как установить значение истинности предложений с различными кванторами?
13. Когда между предложениями имеется отношение следования, а когда отношение равносильности? Как они обозначаются?
14. Что такое умозаключение? Какое умозаключение называется дедуктивным?
15. Запишите при помощи символов правила заключения, правило отрицания, правило силлогизма.
16. Какие умозаключения называются неполной индукцией, а какие умозаключениями по аналогии?
17. Что значит доказать какое-либо утверждение?
18. Что такое математическое доказательство?
19. Дайте определение полной индукции.
20. Что такое софизмы?
Библиографическое описание: Григорьев К. В., Очирова А. Б., Сарангов А. А., Барлыкова С. С., Мучкаева Г. М. Разновидность способов математического доказательства // Юный ученый. 2017. №1. С. 45-46..03.2019).
Говоря о доказательстве, в повседневной жизни, мы имеем в виду проверку сформулированного утверждения. Непосредственно в математике понятия проверка и доказательство являются разными по сути, хотя и несут в себе взаимосвязь.
Давайте докажем, что если три угла в четырехугольнике равны 90 градусов, то такой четырехугольник является прямоугольником.
Рассмотрим четырехугольник, у которого три угла равны 90 градусов. Произведем измерения четвёртого угла и найдем его градусную меру. Приходим к выводу, что он тоже будет прямым. Такого рода проверка подтверждает данное утверждение, но не является доказательством.
Для доказательства данного утверждения, необходимо рассмотреть произвольный четырехугольник, у которого три угла равны по 90⁰. Так как в любом выпуклом четырехугольнике сумма углов равна 360⁰ , следовательно искомый угол равен 90⁰ (360⁰ - 90⁰*3). Прямоугольником является четырехугольник, у которого все углы прямые. Значит, данный четырехугольник будет прямоугольником. Что и требовалось доказать.
Смысл выполненного доказательства заключается в следующей последовательности истинных утверждений: теорем, аксиом, определений, из которых логически вытекает утверждение, которое необходимо доказать. Доказать утверждение - это значит показать, что данное утверждение логически следует из ряда истинных и связанных с ним утверждений.
В случае, если рассматриваемое утверждение логически вытекает из уже доказанных утверждений, то оно является обоснованным и истинным. Основой математического доказательства служит дедуктивный метод. А само доказательство выступает как цепочка умозаключений, причем заключение каждого из них, кроме последнего, является посылкой в одном из последующих умозаключений.
В рассмотренном доказательстве можно выделить следующие умозаключения:
– в любом выпуклом четырехугольнике сумма углов равна 360⁰; данная фигура является выпуклым четырехугольником, следовательно, сумма углов в нём 360⁰;
– если известна сумма всех углов четырехугольника и сумма трех из них, то вычитанием можно найти величину четвертого; сумма всех углов данного четырехугольника равна 360⁰, сумма трех 270⁰(90⁰·3 = 270⁰), то определив их разность, найдем искомый угол, равный 90⁰;
– если в четырехугольнике все углы прямые, то этот четырехугольник - прямоугольник; в нашем случае в четырехугольнике все углы прямые, следовательно он прямоугольник.
Все рассмотренные умозаключения выполнены по правилу заключения и, соответственно, являются дедуктивными.
Самое простое доказательство состоит из одного умозаключения. Таким, например, является доказательство утверждения о том, что 5
Рассматривая структуру математического доказательства, мы понимаем, что она, прежде всего, включает в себя утверждение, которое доказывается, и систему истинных утверждений, посредством которых ведут доказательство.
Также важно заметить, что математическое доказательство - это не просто набор умозаключений, а умозаключения, расположенные в определенном порядке.
По способу ведения различают прямые и косвенные доказательства. Рассмотренное ранее доказательство относится к прямым - в нем, основываясь на отдельном истинном предложении и учитывая условия теоремы, соединялась цепочка дедуктивных умозаключений, которая непосредственно приводила к истинному заключению.
В качестве примера косвенного доказательства служит доказательство методом от противного. Сущность его состоит в следующем: пусть требуется доказать теорему А ⇒ В. При доказательстве методом от противного допускают, что заключение теоремы (В) ложно, а, следовательно, его отрицание будет истинным. Присоединив предложение «не В» к совокупности истинных посылок, применяемых в процессе доказательства (среди которых находится и условие А), выполняем цепочку дедуктивных умозаключений до тех пор, пока не получим утверждение, противоречащее одной из посылок и, в частности, условию А. Как только такое противоречие установится, процесс доказательства заканчивают и приходят к мнению, что полученное противоречие доказывает истинность теоремы А ⇒ В .
Задача 1. Доказать, что если х + 2 > 10, то х ≠ 8. Метод от противного.
Задача 2. Доказать, что если у² - четное число, то у - четно. Метод от противного.
Задача 3. Даны четыре последовательных натуральных числа. Справедливо ли, что произведение средних чисел этой последовательности больше произведения крайних на 2? Метод неполной индукции.
Полная индукция является таким методом доказательства, при котором истинность утверждения вытекает из истинности его во всех частных случаях.
Задача 4. Доказать, что каждое составное натуральное число, большее 4, но меньшее 20, представимо в виде суммы двух простых чисел.
Таким образом, математическое доказательство является рассуждением с целью обоснования истинности какого-либо утверждения (теоремы), цепочкой логических умозаключений, показывающей, что при условии истинности некоторого набора аксиом и правил вывода утверждение верно.
Литература:
- Геометрия/ 7–9 классы: учеб. Для общеобразоват. Учреждений / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев]. - 21 изд. - М.: Просвещение, 2011.
Лекция 10. Способы математического доказательства
1. Способы математического доказательства
2. Прямые и косвенные доказательства. Доказательство методом от противного.
3. Основные выводы
В обыденной жизни часто, когда говорят о доказательстве, имеют в виду просто проверку высказанного утверждения. В математике проверка и доказательство – это разные вещи, хотя и связанные между собой. Пусть, например, требуется доказать, что если в четырехугольнике три угла прямые, то он – прямоугольник.
Если мы возьмем какой-либо четырехугольник, у которого три угла прямые, и, измерив четвертый, убедимся в том, что он действительно прямой, то эта проверка сделает данное утверждение более правдоподобным, но еще не доказанным.
Чтобы доказать данное утверждение, рассмотрим произвольный четырехугольник, в котором три угла прямые. Так как в любом выпуклом четырехугольнике сумма углов 360⁰, то и в данном она составляет 360⁰. Сумма трех прямых углов равна 270⁰ (90⁰ 3 = 270⁰), и, значит, четвертый имеет величину 90⁰ (360⁰ - 270⁰). Если все углы четырехугольника прямые, то он – прямоугольник Следовательно, данный четырехугольник будет прямоугольником. Что и требовалось доказать.
Заметим, что сущность проведенного доказательства состоит в построении такой последовательности истинных утверждений (теорем, аксиом, определений), из которых логически следует утверждение, которое нужно доказать.
Вообще доказать какое-либо утверждение – это значит показать, что это утверждение логически следует из системы истинных и связанных с ним утверждений .
В логике считают, что если рассматриваемое утверждение логически следует из уже доказанных утверждений, то оно обоснованно и также истинно, как и последние.
Таким образом, основой математического доказательства является дедуктивный вывод. А само доказательство – это цепочка умозаключений, причем заключение каждого из них (кроме последнего) является посылкой в одном из последующих умозаключений.
Например, в приведенном выше доказательстве можно выделить следующие умозаключения:
1. В любом выпуклом четырехугольнике сумма углов равна 360⁰; данная фигура – выпуклый четырехугольник, следовательно, сумма углов в нем 360⁰.
2. Если известна сумма всех углов четырехугольника и сумма трех из них, то вычитанием можно найти величину четвертого; сумма всех углов данного четырехугольника равна 360⁰, сумма трех 270⁰ (90⁰ 3 = 270⁰), то величина четвертого 360⁰ - 270⁰ = 90⁰.
3. Если в четырехугольнике все углы прямые, то этот четырехугольник – прямоугольник; в данном четырехугольнике все углы прямые, следовательно, он прямоугольник.
Все приведенные умозаключения выполнены по правилу заключения и, следовательно, являются дедуктивными.
Самое простое доказательство состоит из одного умозаключения. Таким, например, является доказательство утверждения о том, что 6 < 8.
Итак, говоря о структуре математического доказательства, мы должны понимать, что она, прежде всего, включает в себя утверждение, которое доказывается, и систему истинных утверждений, с помощью которых ведут доказательство.
Следует еще заметить, что математическое доказательство – это не просто набор умозаключений, это умозаключения, расположенные в определенном порядке.
По способу ведения (по форме) различают прямые и косвенные доказательства. Рассмотренное ранее доказательство было прямым – в нем, основываясь на некотором истинном предложении и с учетом условия теоремы, строилась цепочка дедуктивных умозаключений, которая приводила к истинному заключению.
Примером косвенного доказательства является доказательство методом от противного . Сущность его состоит в следующем. Пусть требуется доказать теорему
А ⇒ В. При доказательстве методом от противного допускают, что заключение теоремы (В) ложно, а, следовательно, его отрицание истинно. Присоединив предложение «не В» к совокупности истинных посылок, используемых в процессе доказательства (среди которых находится и условие А), строят цепочку дедуктивных умозаключений до тех пор, пока не получится утверждение, противоречащее одной из посылок и, в частности, условию А. Как только такое противоречие устанавливают, процесс доказательства заканчивают и говорят, что полученное противоречие доказывает истинность теоремы
Задача 1. Доказать, что если а + 3 > 10, то а ≠ 7. Метод от противного.
Задача 2. Доказать, что если х² - четное число, то х – четно. Метод от противного.
Задача 3. Даны четыре последовательных натуральных числа. Верно ли, что произведение средних чисел этой последовательности больше произведения крайних на 2? Метод неполной индукции.
Полная индукция – это такой метод доказательства, при котором истинность утверждения следует из истинности его во всех частных случаях.
Задача 4. Доказать, что каждое составное натуральное число, большее 4, но меньшее 20, представимо в виде суммы двух простых чисел.
Задача 5. Верно ли, что если натуральное число n не кратно 3, то значение выражения n² + 2 кратно 3? Метод полной индукции.
В брошюре доступным неспециалистам языком рассказывается о некоторых из основополагающих принципов, на которых строится наука математика: чем понятие математического доказательства отличается от понятия доказательства, принятого в других науках и в повседневной жизни, какие простейшие приёмы доказательства используются в математике, как менялось со временем представление о «правильном» доказательстве, что такое аксиоматический метод, в чём разница между истинностью и доказуемостью.
Для очень широкого круга читателей, начиная со школьников старших классов.
МАТЕМАТИКА И ДОКАЗАТЕЛЬСТВА.
Даже незнакомый с математикой человек, взяв в руки книгу по математике, может, как правило, сразу определить, что эта книга действительно по математике, а не по какому-нибудь другому предмету. И дело не только в том, что там обязательно будет много формул: формулы есть и в книгах по физике, по астрономии или по мостостроению. Дело в том, что в любой серьёзной книге по математике непременно присутствуют доказательства. Именно доказуемость математических утверждений, наличие в математических текстах доказательств - вот что нагляднее всего отличает математику от других областей знания.
Первую попытку охватить единым трактатом всю математику предпринял древнегреческий математик Евклид в III веке до нашей эры. В результате появились знаменитые «Начала» Евклида. А вторая попытка состоялась только в XX веке н. э., и принадлежит она французскому математику Никол´я Бурбаки, начавшему в 1939 году издавать многотомный трактат «Начала математики». Вот какой фразой открывает Бурбаки свой трактат: «Со времён греков говорить „математика“ - значит говорить „доказательство“». Таким образом, «математика» и «доказательство» - эти два слова объявляются почти синонимами.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Математика и доказательства
О точности и однозначности математических терминов
Доказательства методом перебора
Косвенные доказательства существования. Принцип Дирихле
Доказательства способом «от противного»
Принципы наибольшего и наименьшего числа и метод бесконечного спуска
Индукция
Доказательства методом математической индукции
Полная индукция и неполная индукция
Представление о математических доказательствах меняется со временем
Два аксиоматических метода - неформальный и формальный
Неформальный аксиоматический метод
Формальный аксиоматический метод
Теорема Гёделя.
Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Простейшие примеры математических доказательств, Успенский В.А., 2009 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.